Dělení polynomu polynomem

Dělení polynomu polynomem se zbytkem je algoritmus dělení polynomu $f(x)$ polynomem $g(x)$, kde stupeň $g(x)$ je stejný nebo menší než stupeň $f(x)$. Algoritmus je podobný algoritmu dělení se zbytkem.

Mějme dva polynomy $f(x)$ a $g(x)$, kde $g(x)$ je nenulový. Pak existují polynomy $r(x)$ a $z(x)$ takové, že

$f(x)=r(x)g(x)+z(x)$ a $st(z)<st(g)$.

Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně. Polynomu $r(x)$ se říká částečný podíl, polynom $z(x)$ je zbytek při dělení polynomu $f(x)$ polynomem $g(x)$.

Stupeň polynomu

Stupeň nulového polynomu je roven -1, stupeň nenulového polynomu je roven největšímu $n$ takovému, že $a_n$ je nenulové. Stupeň polynomu $f(x)$ značíme $st(f)$.

Algoritmus dělení polynomů

Algoritmus pro výpočet podílu a zbytku pracuje podobně jako algoritmus pro dělení čísel zapsaných v nějaké soustavě: postupně se dělí nejvyšší člen dělence, vypočítává se prozatímní zbytek a postup se pro něj opakuje, dokud se buď nezastavíme u nejmenšího členu, kde dělení dává smysl, nebo nenajdeme výsledek s nulovým zbytkem.

Ukažme si například, že

$\frac{x^3-12x^2-42}{x-3}=x^2-9x-27-\frac{123}{x-3}.$

Částečný podíl a zbytek po dělení lze nalézt v průběhu provádění následujících kroků:

1. Vydělíme první člen prvního polynomu prvním členem druhého polynomu, umístíme výsledek pod čarou $(x^3/x=x^2)$.

$\begin{array}{c}{x}^3-12x^2+0x-42\underset{\_}{|x-3}\\ |x^2\end{array}$

2. Vynásobíme dočasný výsledek s dělitelem. Zapíšeme výsledek pod první polynom $(x^2\cdot (x-3)=x^3-3x^2)$.

$\begin{array}{c}{x}^3-12x^2+0x-42\underset{\_}{|x-3}\\ x^3-3x^2|x^2\end{array}$

3. Odečteme získaný výsledek z kroku 2 od celého prvního polynomu, zapíšeme výsledek pod čarou $(x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x-42)$.

$\begin{array}{c}{x}^3-12x^2+0x-42\underset{\_}{|x-3}\\ \underset{\_}{x^3-3x^2}|x^2\\ -9x^2+0x-42\end{array}$

4. Opakujeme všechny předchozí kroky používajíce jako dělenec výraz pod čarou.

$\begin{array}{c}{x}^3-12x^2+0x-42|x-3\\ \underset{\_}{x^3-3x^2}\overline{|x^2-9x}\\ -9x^2+0x-42\\ \underset{\_}{-9x^2+27x}\\ -27x-42\end{array}$

5. Opakujeme krok 4.

$\begin{array}{c}{x}^3-12x^2+0x-42|x-3\\ \underset{\_}{x^3-3x^2}\overline{|x^2-9x-27}\\ -9x^2+0x-42\\ \underset{\_}{-9x^2+27x}\\ -27x-42\\ \underset{\_}{-27x+81}\\ -123\end{array}$

6. Algoritmus zde končí.

Znamená to, že polynom $r(x)=x^2-9x-27$ je částečný podíl a $z(x)=-123$ je zbytek po dělení.

Další algoritmy

Jako alternativa se dá použít Hornerova schématu, které je efektivnější.

Dělitelnost polynomů

Jestliže zbytek při dělení polynomu $f(x)$ polynomem $g(x)$ je nulový polynom, říkáme, že polynom $g(x)$ dělí polynom $f(x)$, nebo že polynom $f(x)$ je dělitelný polynomem $g(x)$, nebo také, že polynom $g(x)$ je dělitelem polynomu $f(x)$.

Kořen polynomu

Prvek $a$ se nazývá kořen polynomu $f(x)$, jestliže platí $f(a)=0$. Prvek a je kořenem polynomu $f(x)$ právě tehdy, když polynom $(x-a)$ dělí polynom $f(x)$.

Praktické použití

Algoritmus se používá například při integrování racionálních lomených funkcí, když se počítá rozklad na parciální zlomky.