d'Alembertův operátor

V matematice a fyzice je d'Alembertův operátor, nebo d'Alembertián diferenciální operátor nazvaný podle Jeana le Rond d'Alembert. Jedná se o speciální případ Laplaceova operátoru pro čtyřrozměrný Minkowského prostor s metrikou diag(-1,1,1,1). Značí se značkou $◻$.Šablona:Poznámka Využívá se ve speciální teorii relativity, v elektromagnetismu a v relativistické formulaci kvantové teorie (viz Kleinova–Gordonova rovnice).

D'Alembertův operátor v kartézských souřadnicích je roven

$◻f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial (x_1{)}^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial (x_2{)}^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial (x_3{)}^2}-\frac{{\partial }^{2}f}{\partial (x_0{)}^2},$

nebo speciálně za použití souřadnic (ct,x,y,z)

$◻f={\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}.$

V látkovém prostředí se někdy používá definice

$◻f=\mathrm{\Delta }f-\mu \epsilon \frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}=\mathrm{\Delta }f-\frac{N^2}{c^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2},$

kde $\mu ,\epsilon$ jsou permeabilita a permitivita daného materiálu a N je jeho index lomu.