Cavalieriův princip

Cavalieriho princip použitý pro výpočet objemu koule

Cavalieriův princip neboli princip Cavalieriho je poznatek stereometrie používaný při výpočtu objemu těles a pojmenovaný po svém objeviteli, italském matematikovi Bonaventurovi Cavalierim (1598 – 1647). Cavalieriho princip ve třírozměrném případě říká, že tělesa se stejně velkými podstavami a výškami mají stejný objem, pokud mají řezy rovnoběžné s podstavami a vedené ve stejné vzdálenosti od podstav stejné obsahy. Ve dvourozměrném případě Cavalieriův princip tvrdí rovnost obsahu dvou rovinných obrazců, pokud úsečky rovnoběžné s osou souřadné soustavy, které je protínají ve shodné výšce, mají vždy stejnou délku.

Odvození

Z moderního pohledu jde o důsledek Fubiniovy věty integrálního počtu.

Příklad

Cavalieriův princip lze použít například pro výpočet objemu koule elementárními prostředky, jak je znázorněno na animaci. Nejdříve ukážeme, že polokoule o poloměru R má stejný objem jako válec s podstavou o poloměru R a o výšce R, z něhož je vyříznut obrácený kužel tak, jak ukazuje vyobrazení. Podstavy i výšky obou těles se rovnají a rovnají se i obsahy řezů v kterékoli výšce v nad podstavou. U polokoule je řez kruhový, jehož poloměr je podle Pythagorovy věty $r=\sqrt{R^2-v^2},$ a má tedy plochu $S_k=\pi r^2=\pi (R^2-v^2)$. Řez vyříznutého válce je mezikruží s plochou $S_v=\pi R^2-\pi v^2=\pi (R^2-v^2)$, a to je stejné jako obsah řezu polokoule $S_k$. Platí tedy předpoklady Cavalieriho principu, a to znamená, že obě tělesa na obrázku mají stejný objem. Objem vyříznutého válce je rozdílem objemu válce a objemu kužele: $V_v=\pi R^3-\frac{\pi }{3}{R}^3=\frac{2\pi }{3}{R}^3.$ Objem celé koule je tedy dvojnásobný: $V_{koule}=\frac{4\pi }{3}{R}^3,$ což je správný vzorec pro objem koule.

Související články

• Stereometrie
• Guldinova věta
• Integrální počet

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• (de) Prinzip von Cavalieri