Cantorova věta o průniku kompaktů

Cantorova věta o průniku kompaktů tvrdí: Nechť $K_1\supset K_2\supset K_3...$ je posloupnost do sebe vnořených neprázdných kompaktů. Pak jejich průnik je neprázdná množina.

Důkaz

Zvolím posloupnost $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ tak, že pro každé přirozené číslo $i$ je $x_i\in K_i$. Díky tomu, že $K_1$ je kompakt, lze z této posloupnosti vybrat podposloupnost konvergující k $x_0\in K_1$.

Dále si všimnu, že pro každé $n\in \mathbb{N}$ leží všechny členy od jistého indexu této vybrané podposloupnosti uvnitř $K_n$ (díky způsobu, jakým jsou do sebe kompakty vnořeny). To platí pro každé přirozené číslo $n$, tedy průnik až do nekonečna je neprázdný.

Související články

• Georg Cantor