Booleova nerovnost

Booleova nerovnost je označení pro tvrzení z oboru teorie pravděpodobnosti pojmenované po Georgeovi Booleovi, které říká, že pro každou spočetnou množinu náhodných jevů je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich nastane, nejvýše rovna součtu pravděpodobností jednotlivých jevů.

Z hlediska teorie míry je tvrzení důsledkem skutečnosti, že jakákoliv míra včetně pravděpodobnostní míry je spočetně subaditivní.

Formální vyjádření

Pro spočetnou množinu náhodných jevů $A_1,A_2,\dots$ platí

$\mathbb{P}\left(\bigcup _i{A}_i\right)\le \sum _i\mathbb{P}(A_i).$

Důkaz indukcí

Případ $n=1$, zjevně platí, neboť

$\mathbb{P}(A_1)\le \mathbb{P}(A_1).$

Předpokládejme, že tvrzení platí pro $n$, tedy

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\le \sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A_i).$

Protože platí $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B),$ a operace sjednocení je asociativní, platí

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{n+1}{A}_i\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)+\mathbb{P}(A_{n+1})-\mathbb{P}(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\cap A_{n+1}).$

Dále protože

$\mathbb{P}(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\cap A_{n+1})\ge 0,$

pak podle prvního Kolmogorovova axiomu pravděpodobnosti máme

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{n+1}{A}_i\right)\le \mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)+\mathbb{P}(A_{n+1}),$

a tedy v kombinaci s indukčním předpokladem

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{n+1}{A}_i\right)\le \sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A_i)+\mathbb{P}(A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb{P}(A_i).$