Bod uzávěru

Bod uzávěru podmnožiny A topologického prostoru X je v matematice libovolný prvek Cl(A), uzávěru množiny A.

Bod uzávěru množiny A je ekvivalentní s Šablona:Cizojazyčně množiny A používaným v anglické literatuře pro takový bod x, jehož každé okolí obsahuje nějaký bod množiny A, tj. jestliže $U$ je otevřená podmnožina $X$, taková, že $x\in U,$ pak $U\cap A\ne \varnothing .$Šablona:SfnŠablona:SfnŠablona:Sfn

Bod uzávěru a limitní bod

Definice limitního bodu požaduje, aby každé okolí bodu x obsahovalo alespoň jeden bod množiny A, který (na rozdíl od definice Šablona:Cizojazyčně) musí být různý od x. Každý limitní bod je tedy bodem uzávěru, ale opačné tvrzení neplatí. Bod uzávěru množiny A je limitním bodem množiny A nebo prvkem množiny A (nebo obojí). Bod uzávěru, který není limitním bodem, je izolovaným bodem.

Intuitivně, pokud si představíme otevřenou množinu A jako plochu uvnitř nějaké hranice (bez této hranice), uzávěr množiny A je množina A včetně této hranice.

Příklady

• Pokud S je neprázdná podmnožina množiny reálných čísel $ℝ$, která je shora omezená, pak sup(S) je bodem uzávěru S.
• Podmnožina S metrického prostoru M obsahuje všechny body uzávěru právě tehdy, když S je (sekvenčně) uzavřená v M.
• Pro interval $(a,b⟩$ s obvyklou topologií reálné osy $ℝ$ je a bodem uzávěru, který do uvedeného intervalu nepatří.
• Pokud S je podmnožina topologického prostoru, pak limita konvergentní posloupnosti z S nemusí nutně patřit do S, ale vždy je bodem uzávěru množiny S. Nechť Šablona:Math je taková posloupnost a nechť x je její limita. Z definice limity pak pro všechna okolí U bodu x existuje přirozené číslo Šablona:Math takové, že Šablona:Math pro všechna Šablona:Math. Konkrétně, Šablona:Math a také Šablona:Math, pak x je bodem uzávěru množiny S.
• V protikladu k předchozímu příkladu, limita konvergentní posloupnosti v S není nutně limitním bodem množiny S; například uvažujme Šablona:Math jako podmnožinu reálných čísel $ℝ$. Pak jediná posloupnost v S je konstantní posloupnost (0), jejíž limita je 0, ale 0 není limitním bodem množiny S, ale pouze bodem uzávěru množiny S.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Tento článek obsahuje materiál ze stránky Adherent point na PlanetMath, jejíž licence umožňuje dále šířit publikované texty.

Související články

• Limitní bod
• Uzávěr množiny