Binetův vzorec (mechanika)

Binetův vzorec je lineární diferenciální rovnice druhého řádu, vyjadřující pohyb tělesa v centrálním poli. Mějme těleso hmotnosti $m$, jehož polární souřadnice jsou $r$ a $\phi$. Binetův vzorec je rovnice pro inverzní vzdálenost $u=\frac{1}{r}$, a má tvar

$\frac{{\text{d}}^{2}u}{\text{d}{\phi }^2}+u=-\frac{m}{L^2}\frac{\text{d}V}{\text{d}u}$

kde $V$ je potenciál tělesa v centrálním poli, $L$ je jeho moment hybnosti.

Nalezneme-li funkci $u(\phi )$ řešící Binetův vzorec pro daný potenciál $V$, trajektorii tělesa dostaneme opět inverzí, tedy $r(\phi )=\frac{1}{u(\phi )}$

Gravitační pole

Důležitým případem je pohyb tělesa v gravitačním poli, tedy v potenciálu

$V(r)=-\frac{\alpha }{r}$

kde $\alpha =GMm$ je konstanta. Binetův vzorec má zde tedy tvar

$\frac{{\text{d}}^{2}u}{\text{d}{\phi }^2}+u=\frac{\alpha m}{L^2}$

To je nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, jehož obecným řešením

$u(\phi )=\frac{\alpha m}{L^2}(1+\epsilon \cos (\phi +{\phi }_0))$

kde $\epsilon ,{\phi }_0$ jsou integrační konstanty. Konstanta ${\phi }_0$ má význam počáteční fáze, můžeme ji tedy bez újmy na obecnosti položit rovnou nule.

Inverzí vztahu dostaneme tvar trajektorie

$r(\phi )=\frac{p}{1+\epsilon \cos \phi }$

kde $p=\frac{L^2}{\alpha m}$. To je rovnice kuželosečky v polárních souřadnicích. Konstanta $\epsilon$ je numerická excentricita a souvisí s celkovou energií tělesa v centrálním poli vztahem

${\epsilon }^2-1=\frac{2L^{2}E}{{\alpha }^{2}m}$

Těleso (např. planeta nebo kometa) se tedy v centrálním gravitačním poli pohybuje po

• elipse, je-li $\epsilon <1$
• hyperbole, je-li $\epsilon >1$
• parabole, je-li $\epsilon =1$

První případ platí pro pohyb planet a vyjadřuje tak první Keplerův zákon. Šablona:Autoritní data