Bernsteinův polynom

V teorii numerické matematiky je Bernsteinův polynom, nebo také polynom v Bernsteinově tvaru, polynomem, který je lineární kombinací Bernsteinových bázových polynomů.

Numericky stabilní cestou k výpočtu Bernsteinových polynomů je tzv. Algoritmus de Casteljau.

Polynomy v Bernsteinově tvaru byly poprvé použity v konstrukčním důkaze Stoneovy–Weierstrassovy aproximační věty. S rozvojem počítačové grafiky se Bernsteinovy polynomy omezené na intervalu $[0,1]$ staly důležitými ve formě Beziérových křivek.

Definice

n+1 Bernsteinových bázových polynomů stupně $n$ je definováno vztahem

$b_{\nu ,n}(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\nu })x^{\nu }(1-x{)}^{n-\nu },\nu =0,\dots ,n.$

kde $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\nu })$ je binomický koeficient.

Bernsteinovy bázové polynomy stupně $n$ tvoří bázi vektorového prostoru polynomů stupně $n$.
Lineární kombinace Bernsteinových bázových polynomů

$B(x)=\sum _{\nu =0}^n{\beta }_{\nu }{b}_{\nu ,n}(x)$

se nazývá Bernsteinův polynom, neboli polynom v Bernsteinově tvaru stupně $n$. Koeficienty ${\beta }_{\nu }$ jsou nazývány Bernsteinovy koeficienty, nebo také Beziérovy koeficienty.

Vlastnosti

Rozklad jednotky

Báze tvořená Bernsteinovými polynomy tvoří rozklad jednotky na intervalu $<0;1>$.

$\sum _{i=0}^n{b}_{i,n}(x)=1$

Symetrie

V bázi tvořené Bernsteinovými polynomy existují vždy symetrické polynomy.

$b_{i,n}(x)=b_{n-i,n}(1-x)$

Důkaz:

$b_{n-i,n}(1-x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-i})(1-x{)}^{n-i}(1-(1-x){)}^{n-(n-i)}$

Z vlastností kombinačních čísel vyplývá:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-i})$

Nyní stačí upravit předchozí rovnici a získáme že:

$b_{n-i,n}(1-x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-i})(1-x{)}^{n-i}(1-(1-x){)}^{n-(n-i)}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(1-x{)}^{n-i}(x{)}^i=b_{i,n}(x)$

Rekurence

Bernsteinovy polynomy jsou rekurentní. To znamená že Bernsteinův polynom lze definovat použitím polynomu nižšího řádu.

$b_{i,n}(x)=(1-x)b_{i,n-1}(x)+t{b}_{i-1,n-1}(x)$

Derivace

$b_{i,n}(x{)}^{\prime }=n(b_{i-1,n-1}(x)-bi,n-1(x))$

Lokální maximum

Na intervalu $<0;1>$ je maximum v bodě $x=\frac{i}{n}$.

Důkaz: Maximum najdeme skrze derivaci:

$b_{i,n}(x{)}^{\prime }=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^{i-1}(1-x{)}^{n-i-1}[i(1-x)-x(n-i)]$

Nyní můžeme nahlédnout, že pro body $x=0,1$ nezískáme nulovou derivaci. Proto zbývá pouze činitel v závorce, který můžeme položit nule.

$i(1-x)-x(n-i)=0$

$i-ix-xn+ix=0$

$xn=i$

$x=\frac{i}{n}$

Že tento bod leží na intervalu $<0;1>$ vyplývá z nerovnosti $0\le i\le n$.

Příklad

Prvních několik Bernsteinových bázových polynomů vypadá takto:

$b_{0,0}(x)=1$

$b_{0,1}(x)=1-x$

$b_{1,1}(x)=x$

$b_{0,2}(x)=(1-x{)}^2$

$b_{1,2}(x)=2x(1-x)$

$b_{2,2}(x)=x^2.$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat