Bernoulliho nerovnost

Bernoulliho nerovnost je využívána při dokazování složitějších matematických vět. Samotná nerovnost má tvar

$(1+x{)}^n\ge 1+nx;n\in \mathbb{N},x\in [-1;+\mathrm{\infty })$

Důkaz

Důkaz Bernoulliho nerovnosti vyžaduje základy dokazování matematickou indukcí. V prvním kroku se ověří platnost pro první přirozené číslo $n=1$. Dostaneme $1+x=1+x$, což je zřejmá pravda. Indukční předpoklad je tedy platnost

$(\text{i})(1+x{)}^k\ge 1+kx$

Po splnění výše uvedených podmínek. Ve druhém kroku se snažíme z pravdivosti (i) odvodit platnost

$(\text{ii})(1+x{)}^{k+1}\ge 1+(k+1)x$

Tvar nerovnosti (ii) lze přepsat na tvar

$(1+x{)}^k\ge \frac{1+kx+x}{1+x}$

Nyní je třeba dokázat, že platí

$1+kx\ge \frac{1+kx+x}{1+x}$

Po úpravě dospějeme ke tvaru $k{x}^2\ge 0$ z něhož lze vypozorovat, že původní nerovnost platí.

Použití nerovnosti při důkazech

Příkladem může být důkaz o existenci limity posloupnosti

${\left\{{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$

Přičemž je třeba dokázat omezenost a monotónnost této posloupnosti.

Odkazy

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat