Argument hyperbolického kosekans

Graf funkce argument hyperbolického kosekans

Argument hyperbolického kosekans je hyperbolometrická funkce. Značí se $\mathrm{arcsch}x$.

Definice

Argument hyperbolického kosekans je definován jako funkce inverzní k hyperbolickému kosekans definovanému na množině kladných reálných čísel. Platí $\mathrm{arcsch}x=\ln (\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1})=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$.

Vlastnosti

• Definiční obor funkce

$R\mathrm{\setminus }\{0\}$

• Obor hodnot funkce

$(0,\mathrm{\infty })$

• Argument hyperbolického kosekans není sudá ani lichá funkce.

• Inverzní funkcí k argumentu hyperbolického kosekans je $\mathrm{csch}(x)$.

• Derivace:

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x=-\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}$

• Neurčitý integrál:

$\int \mathrm{arcsch}(x)dx=x\mathrm{arcsch}(x)+\mathrm{arcoth}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}+C$, kde $C$ je integrační konstanta.

• Omezená zdola, klesající funkce
• Neperiodická funkce

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{arcsch}x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{arcsch}x=0$