Algebraický prvek

Algebraický prvek je pojem z matematiky, respektive z jejího podoboru zvaného obecná algebra. Jedná se o zobecnění pojmu algebraické číslo pro jiná tělesa než pro těleso racionálních čísel. Je-li L nadtěleso tělesa K, pak prvek a z tělesa L se nazývá algebraický nad K, pokud existuje nenulový mnohočlen $g(x)$ s koeficienty z K takový, že a je jeho kořenem, tedy že $g(a)=0$. Prvky nadtělesa L, které nejsou algebraické nad K, se označují transcendentní nad K.

Příklady

• Pro těleso racionálních čísel a jeho nadtěleso tvořené komplexními čísly jsou algebraickými prvky právě ta čísla označovaná jako algebraické číslo a transcendentními prvky právě ta čísla označovaná za transcendentní číslo.
• Druhá odmocnina ze dvou je algebraická nad tělesem racionálních čísel, neboť je kořenem mnohočlenu $g(x)=x^2-2$, jehož koeficienty jsou racionální čísla.
• Číslo π je transcendentní nad tělesem racionálních čísel, nicméně je algebraické nad tělesem reálných čísel, neboť je kořenem mnohočlenu $g(x)=x-\pi$, jehož kořeny jsou reálnými čísly (a tento příklad lze zřejmým způsobem zobecnit: transcendentní mohou být jen ty prvky nadtělesa L, které nejsou prvky tělesa K).

Vlastnosti

Následující podmínky jsou pro libovolný prvek a z nadtělesa L ekvivalentní:

• a je algebraické nad K
• tělesové rozšíření $K(a)/K$ je konečného stupně, tedy $K(a)$ coby vektorový prostor nad tělesem K je konečné dimenze (Značením $K(a)$ se rozumí nejmenší podtěleso L obsahující jak a, tak celé K).
• $K[a]=K(a)$, kde $K[a]$ označuje množinu všech prvků z L, které mohou být zapsány jako $g(a)$, kde g je nějaký mnohočlen s koeficienty z K.

Dále lze ukázat, že součet, rozdíl, násobek i podíl algebraických prvků nad K je zase algebraickým prvek nad K. Z toho plyne, že množina všech algebraických prvků nad K z tělesa L sama tvoří těleso, které obsahuje K a samo je obsaženo v L.

Pokud je a algebraické nad K, pak existuje mnoho nenulových mnohočlenů splňujících definici. Lze mezi nimi ovšem vybrat jediný, který z nich má nejmenší stupeň a jeho vedoucí koeficient je rovný jedné. Ten se označuje minimální polynom a jeho podoba obsahuje mnohé informace o povaze a.

Tělesa, která nelze rozšířit o další algebraické prvky, se nazývají algebraicky uzavřená. Příkladem takového tělesa je těleso komplexních čísel.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie