Afinní obal

Podobně jako je lineární obal definován pro lineární kombinace jisté množiny vektorů, lze ve vektorových prostorech definovat i obaly vektorů ve vztahu k afinním kombinacím.

Definice

Mějme $V$ vektorový prostor a ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ sadu vektorů z $V$. Množinu všech afinních kombinací této sady vektorů nazýváme afinní obal vektorů ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ (angl. affine span či affine hull). Někdy se afinní obal zmíněných vektorů značí jako $[{\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n{]}_{\alpha }$ či $\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}({\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n)$. V matematické symbolice tedy

$\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}({\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n)\equiv \left\{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\overrightarrow{x}}_i\right|(\mathrm{\forall }i\in \hat{n})({\alpha }_i\in T)\wedge \sum _{i=1}^n{\alpha }_i=1\},$

kde $\hat{n}\equiv \{1,\dots ,n\}$

Vlastnosti

Některá tvrzení platná pro lineární obaly a podprostory vektorového prostoru jsou v platnosti i pro afinní obaly, zaměníme-li vektorový podprostor lineární varietou. V následujícím se budeme pohybovat ve vektorovém prostoru $V$ nad tělesem $T$.

Afinní obal jako lineární varieta

• Afinní obal je lineární varieta v daném vektorovém prostoru.

Důkaz: Doplnit...

• Afinní obal vektorů ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ je nejmenší (ve smyslu inkluze) lineární varieta ve vektorového prostoru $V$, která obsahuje ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$. Neboli, afinní obal vektorů ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ je roven průniku všech lineárních variet $W$ vektorového prostoru $V$, které obsahují tyto vektory. Matematicky zapsáno

$\text{aff}({\overrightarrow{x}}_1,{\overrightarrow{x}}_2,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n)=\bigcap _{W\text{je lin. varieta ve}V,\{{\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n\}\subset W}W$

Důkaz: Doplnit...

Ostatní

• Afinní kombinace vektorů obsahuje všechny tyto vektory, neboli

$(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }i\in \hat{n})({\overrightarrow{x}}_i\in \text{aff}({\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n))$

Důkaz: Zřejmý, pro dané ${\overrightarrow{x}}_{i_0}$ položíme v sumě ${\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{\overrightarrow{x}}_i$ koeficient ${\alpha }_{i_0}=1$ a všechny ostatní nulové.

Geometrická interpretace

Podobně jako lineární obaly, i afinní obaly mají názornou geometrickou interpretaci. Přinejmenším uvažujeme-li vektorové prostory aritmetických vektorů, tj. uspořádaných n-tic reálných (potažmo komplexních) čísel. Pro jednoduchost vezměme trojrozměrný prostor ${ℝ}^3$ nad reálným tělesem. Jeho prvky jsou tedy uspořádané trojice reálných čísel s operacemi definovanými následujícím způsobem

$\alpha \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha x_1+y_1\\ \alpha x_2+y_2\\ \alpha x_3+y_3\end{array}\right).$

Prvky tohoto prostoru si tedy lze představovat ve "fyzikálním smyslu", tj. jako šipky vedoucí z počátku soustavy souřadnic. Sčítání vektorů ve smyslu vyznačeném výše odpovídá skládání šipek. Budeme-li brát po řadě jedno-, dvou- a tříprvkové množiny vektorů, jejich afinní obaly lze interpretovat takto:

• Afinní obal jediného vektoru je pouze tento vektor sám. Pro porovnání, lineární obal jednoho vektoru je roven vektoru samotnému jenom v jediném případě a to když je tento vektor nulový.
• Máme-li dva (navzájem různé) vektory ${\overrightarrow{x}}_1$ a ${\overrightarrow{x}}_2$ z ${ℝ}^3$, tak jejich obecná afinní kombinace vypadá jako

$\alpha {\overrightarrow{x}}_1+(1-\alpha ){\overrightarrow{x}}_2,$

kde $\alpha \in ℝ$. Vektory ${\overrightarrow{x}}_1$ a ${\overrightarrow{x}}_2$ jsou představovány dvěma body a na jejich afinní kombinaci můžeme nazírat jako na přímku procházející těmito dvěma body. Afinní obal dvou vektorů v ${ℝ}^3$ je tedy přímka procházející těmito vektory. Rozdíl oproti lineárnímu obalu je v tom, že zatímco lineární obal jednoho nenulového vektoru je přímka procházejí počátkem a tímto vektorem, afinní obal jednoho vektoru je pouze tento vektor sám. Abychom dostali přímku, potřebujeme u afinních obalů vektory dva, oproti lineárnímu obalu ale tato přímka již nemusí procházet počátkem.

• Afinní obal tří (lineárně nezávislých) vektorů je rovina procházející těmito třemi vektory alias body. Pro lineární obal tří lineárně nezávislých vektorů bychom dostali celý prostor ${ℝ}^3$.

Z předchozí diskuze je tedy patrné, že geometrický objekt coby afinní obal daného počtu vektorů má o jednu dimenzi méně, než geometrický objekt vzniklý z těchže vektorů pomocí lineárního obalu.

Související pojmy

Mějme množinu vektorů ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ z vektorového prostoru $V$. V oddíle Geometrická interpretace jsme viděli, že na afinní obaly vektorů lze nazírat jako na geometrické objekty o dané dimenzi, která je o jedničku nižší než odpovídající geometrický objekt vzniklý z týchž vektorů pomocí lineárního obalu. Dimenzi afinního obalu zmíněných vektorů říkáme afinní hodnost souboru ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$.

Podobně jako v případě lineárních kombinací, kdy lze definovat lineární nezávislost, můžeme i v případě afinních kombinací definovat afinní (ne)závislost. Řekneme, že soubor ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ je afinně nezávislý, právě když je jeho afinní hodnost rovna číslu $n-1.$ Pokud je jeho afinní hodnost ostře menší než $n-1$, tak říkáme, že je afinně závislý. Označíme-li afinní hodnost souboru vektorů jako ${\text{h}}_{\alpha }({\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n)$, pak můžeme psát, že soubor vektorů je afinně nezávislý, právě když

${\text{h}}_{\alpha }({\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n)=n-1$

a afinně závislý, právě když

${\text{h}}_{\alpha }({\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n)<n-1.$

Z definice je ihned patrné, že množina obsahující pouze jediný vektor je vždy afinně nezávislá.

Protože se častěji pracuje s lineární nezávislostí, je užitečné najít vztah této a afinní nezávislosti. K tomu se hodí následující tvrzení: Mějme soubor vektorů ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ z vektorového prostoru $V$ pro $n\ge 2$. Dále nechť $i_0\in \hat{n}$ je libovolně, ale pevně, zvolený index. Pak platí

$\{{\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n\}\text{je afinně nezávislý}\iff \{{\overrightarrow{x}}_1-{\overrightarrow{x}}_{i_0},\dots ,{\overrightarrow{x}}_{i_0-1}-{\overrightarrow{x}}_{i_0},{\overrightarrow{x}}_{i_0+1}-{\overrightarrow{x}}_{i_0},\dots ,{\overrightarrow{x}}_n-{\overrightarrow{x}}_{i_0}\}\text{je lineárně nezávislý}.$

Literatura

• Šablona:Citace monografie – skripta FJFI ČVUT

Související články

• lineární obal
• konvexní obal