Abelova sumace

V matematice je Abelova sumace, pojmenovaná po Nielsi Henriku Abelovi, přepisem n-tého členu posloupnosti na rozdíl dvou po sobě jdoucích členech součtové řady dané touto posloupností.

Definice

Mějme dvě posloupnosti $(a_n)$ a $(b_n)$, kde n=1,2,3,... a definujme $A_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$.
Tedy $a_k=A_k-A_{k-1}$

Potom
$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k=\sum _{k=1}^n(A_k-A_{k-1})b_k=$

$=\sum _{k=1}^n{A}_k{b}_k-\sum _{k=1}^n{A}_{k-1}{b}_k=\sum _{k=1}^n{A}_k{b}_k-\sum _{k=0}^{n-1}{A}_k{b}_{k+1}$

A protože $A_0=0$, tak můžeme druhou sumu indexovat od jedničky.

$\sum _{k=1}^n{A}_k{b}_k-\sum _{k=1}^{n-1}{A}_k{b}_{k+1}=\sum _{k=1}^{n-1}{A}_k(b_k-b_{k+1})+A_n{b}_n$

Což je výsledek.

Použití

Abelovy sumace se používá zejména v matematických důkazech, když potřebujeme upravit součin dvou posloupností. Využíváme jí např. při důkazech kritérií konvergence součtové řady - Dirichletovo a Abelovo kritérium. Šablona:Autoritní data