Čechova kohomologie

Šablona:Neověřeno Čechova kohomologie je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie. Používá se však také v matematické teoretické fyzice, globální analýze a diferenciální topologii a geometrii.

Definice

Nechť $X$ je topologický prostor, $𝒰=(U_j{)}_{j\in J}$ otevřené pokrytí $X$, $ℱ$ je svazek abelovských grup nad $X$ a $i$ je libovolné nezáporné celé číslo.

Definujme $C^i(X,ℱ)=\prod _{(j_0,\dots ,j_i)\in J^i}ℱ(U_{j_0}\cap \dots \cap U_{j_i}).$ Sčítání definujeme po složkách, tj. $(f_0^a,\dots ,f_i^a)+(f_0^b,\dots ,f_i^b)=(f_0^a+f_0^b,\dots ,f_i^a+f_i^b).$ S touto operací je $C^i(X,ℱ)$ abelovská grupa. Pokud a je element $ℱ(U_{j_0}\cap \dots \cap U_{j_i})$ pro nějaké $(j_0,\dots ,j_i)\in J^{i+1}$, označíme tento fakt na symbolické úrovni pomocí $a=a_{j_0\dots j_i}.$ (Nejedná se o definici konkrétního prvku.)

Definujme homomorfismus ${\delta }^i:C^i(X,ℱ)\to C^{i+1}(X,ℱ)$ předpisem ${\delta }^i(a)=\sum _{j=0}^{i+1}(-1{)}^j{a}_{(i_0\dots \widehat{i_j}\dots i_{i+1})}.$ Lze ověřit, že ${\delta }^{i+1}{\delta }^i=0$, tj. že ${\delta }^i$ je tzv. kořetězcové zobrazení (komplexů abelovských grup) popřípadě tzv. gradovaný diferenciál.

Pak $i$-tá Čechova kohomologická grupa ${\check{H}}^i(X,ℱ)$ pro $X$, $𝒰$ a $ℱ$ je faktorgrupa $\frac{\text{Ker}({\delta }^i)}{\text{Im}({\delta }^{i-1})}.$

Definice má smysl, neboť $\text{Im}({\delta }^{i-1})\subseteq \text{Ker}({\delta }^i),$ jak plyne z ${\delta }^i{\delta }^{i-1}=0.$

Navíc, jelikož je $C^i(X,ℱ)$ abelovská, je její každá podgrupa normální, a proto je i podíl grupou, a to grupou abelovskou.

Terminologie

• Elementy $C^i(X,ℱ)$ se nazývají kořetězce.
• Homomorfismus ${\delta }^i$ se nazývá Čechův kodiferenciál.
• Elementy z $\text{Ker}({\delta }^i)$ nazýváme kocykly.
• Elementy z $\text{Im}({\delta }^{i-1})$ nazýváme kohranice.

Předpona „ko“ se dodává zejména z toho důvodu, že diferenciál zobrazuje $C^i(X,ℱ)\to C^{i+1}(X,ℱ)$ . (V případě „opačného směru“ by se předpona „ko“ vynechávala.)

Čechovy kohomologické grupy definoval český matematik Eduard Čech. Na jeho počest se v jejich označení písmenem H objevuje háček – Ȟ.

Vlastnosti

Pokud X je parakompaktní, lze ukázat, že Čechova kohomologická grupa nezávisí na výběru pokrytí $𝒰.$ O tom, jak Čechovu kohomologii v některých případech počítat, nás informuje tzv. Lerayova věta o dobrém pokrytí pro Čechovu kohomologii.

Tzv. de Rhamova věta dává do souvislosti Čechovu kohomologickou grupu a de Rhamovu grupu kompaktní diferencovatelné variety. Tato věta zní.

Nechť $X$ je kompaktní diferencovatelná varieta a $ℛ$ je svazek lokálně konstantních reálných funkcí na $X$. Pak existuje izomorfismus abelovských grup $H_{dR}^i(X,ℝ)$ a ${\check{H}}^i(X,ℛ)$.

Zatímco de Rhamova kohomologická grupa dle definice zachycuje informaci o uzavřených diferencovatelných formách, které nejsou exaktní, a tak se do jisté míry vyjadřuje k řešení lineárních parciálních diferenciálních rovnic na hladkých varietách, Čechova kohomologie se na základě své definice zdá spíše objektem kombinatorického rázu, a proto je de Rhamova věta pokládána za překvapivé tvrzení. Šablona:Autoritní data