Hyperkoule

Hyperkoule je v geometrii zobecnění kruhu a koule do vícerozměrného ($n>3$) prostoru. Je definována jako množina bodů, které mají od daného bodu (tzv. středu) vzdálenost menší nebo rovnu poloměru $r$. Povrch hyperkoule v $n$-rozměrném prostoru je $(n-1)$-rozměrný a tvoří varietu, která se nazývá (n−1)-sféra a značí se standardně ${𝕊}^{n-1}$ (viz také 3-sféra).

Vzorce pro objem n-rozměrné koule

ObjemŠablona:Ujasnit $n$-rozměrné koule o poloměru $r$ lze definovat rekurzivně vztahem

$V_n(r)=\underset{-r}{\overset{r}{\int }}{V}_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2})\mathrm{d}x$

kde $V_2(r)=\pi r^2$ je známý vzorec pro obsah kruhu o poloměru $r$. Dopočtením dostaneme vzorec v uzavřeném tvaru

$V_n=r^n\prod _{k=1}^n\frac{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2}+1)}=r^n\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)},$

kde $\mathrm{\Gamma }(x)$ je funkce gama.

Tento vzorec lze zjednodušit rozepsáním na liché a sudé počty rozměrů. Pro liché $n=2k+1$

$V_{2k+1}=V_n^{\text{liché}}=r^n\frac{{\pi }^{\frac{n-1}{2}}{2}^{\frac{n+1}{2}}}{n!!}=r^{2k+1}\frac{{\pi }^k{2}^{k+1}}{(2k+1)!!},$

pro sudé $n=2k$

$V_{2k}=V_n^{\text{sudé}}=r^n\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\left(\frac{n}{2}\right)!}=r^{2k}\frac{{\pi }^k}{k!}.$

Vzorce pro povrch n-rozměrné koule, tj. plochu (n−1)-rozměrné sféry

Povrch $n$-rozměrné koule je shodný s derivací objemu podle $r$, tedy

$S_n=n{r}^{n-1}\prod _{k=1}^n\frac{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2}+1)}=n{r}^{n-1}\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}$

Tento vzorec lze opět zjednodušit, pro liché $n=2k+1$

$S_{2k+1}=S_n^{\text{liché}}=n{r}^{n-1}\frac{{\pi }^{\frac{n-1}{2}}{2}^{\frac{n+1}{2}}}{n!!}=(2k+1)r^{2k}\frac{{\pi }^k{2}^{k+1}}{(2k+1)!!},$

pro sudé $n=2k$

$S_{2k}=S_n^{\text{sudé}}=n{r}^{n-1}\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\left(\frac{n}{2}\right)!}=2k{r}^{2k-1}\frac{{\pi }^k}{k!}.$

Externí odkazy

• n-rozměrné koule – s odvozením vztahů