Integrace per partes

Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

Uplatněním této věty na podmínky pro integrál vzniknou následující vzorce:

$\int (uv{)}^{\prime }\mathrm{d}x=\int (u^{\prime }v)\mathrm{d}x+\int (u{v}^{\prime })\mathrm{d}x$

$uv=\int (u^{\prime }v)\mathrm{d}x+\int (u{v}^{\prime })\mathrm{d}x$

Úpravou druhé rovnice vznikne metoda integrace označovaná per partes:

$\int (u{v}^{\prime })\mathrm{d}x=uv-\int (u^{\prime }v)\mathrm{d}x$

Druhý vztah získáme pouhou záměnou $u\leftrightarrow v$.

Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako

$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$

Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.

Per partes pro neurčitý integrál

Věta

Nechť $u(x)$ a $v(x)$ mají v intervalu $(a,b)$ spojitou první derivaci. Potom v intervalu $(a,b)$ platí:

$$\int u^{\prime }v\mathrm{d}x=uv-\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x\text{.}$$

Příklady

• $\int (x\cdot \cos x)\mathrm{d}x=x\cdot \sin x-\int \sin x\mathrm{d}x=x\cdot \sin x+\cos x+C$, kde bylo použito $u=x,v^{\prime }=\cos x$
• Pro nalezení $\int x^2\sin x\mathrm{d}x$ položíme $u=x^2,v=\sin x$, takže dostaneme $\int x^2\sin x\mathrm{d}x=-x^2\cos x+2\int x\cos x\mathrm{d}x$. Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme $u=x,v^{\prime }=\cos x$, tzn. $\int x\cos x\mathrm{d}x=x\sin x-\int \sin x\mathrm{d}x=x\sin x+\cos x$. Dosazením pak získáme konečný výsledek $\int x^2\sin x\mathrm{d}x=-x^2\cos x+2(x\sin x+\cos x)+C$

Rychlá výpočetní metoda per partes

Rychlá výpočetní metoda není rozšířením metody per partes. Jedná se o mnemotechnickou pomůcku usnadňující zapamatování postupu výpočtu, jeho zpřehlednění a následně usnadní i kontrolu.

Formálně je možné metodu naznačit následovně:

$\int u(x)v^{″}(x)\mathrm{d}x=\begin{array}{ccc}Derivace& & Integrace\\ u(x)& & v^{″}(x)\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{+}{\searrow }& \\ u^{\prime }(x)& & v^{\prime }(x)\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{-}{\searrow }& \\ u^{″}(x)& & v(x)\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{⟶}{+\int }& \end{array}=+u(x)v^{\prime }(x)-u^{\prime }(x)v(x)+\int u^{″}(x)v(x)\mathrm{d}x$

Při integraci součinu dvou funkcí se vytvoří dvousloupcová tabulka, kde se v prvním sloupci derivuje jeden z činitelů a ve druhém sloupci se integruje druhý. V každém kroku (řádku) tabulky si klademe otázku zda jsme schopni integrovat součin na daném řádku. Pokud ne, vytvoří se další řádek. Pokud ano, doplní se šipky ( $\genfrac{}{}{0ex}{}{+}{\searrow }\genfrac{}{}{0ex}{}{-}{\searrow }\genfrac{}{}{0ex}{}{+}{\searrow }\genfrac{}{}{0ex}{}{-}{\searrow }\genfrac{}{}{0ex}{}{+}{\searrow }\dots$ ) a zapíše výsledek.

Příklady použití

A) Klasické použití rychlé metody per partes (čtyřnásobné):

$\int x^3{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\begin{array}{ccc}D& & I\\ x^3& & {\mathrm{e}}^x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{+}{\searrow }& \\ 3x^2& & {\mathrm{e}}^x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{-}{\searrow }& \\ 6x& & {\mathrm{e}}^x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{+}{\searrow }& \\ 6& & {\mathrm{e}}^x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{-}{\searrow }& \\ 0& & {\mathrm{e}}^x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{⟶}{+\int }& \end{array}=x^3{\mathrm{e}}^x-3x^2{\mathrm{e}}^x+6x{\mathrm{e}}^x-6{\mathrm{e}}^x+C$

B) Zacyklení v případech integrace součinu exponenciálních a goniometrických funkcí:

$\underset{K}{\underbrace{\int {\mathrm{e}}^x\sin x\mathrm{d}x}}=\begin{array}{ccc}D& & I\\ {\mathrm{e}}^x& & \sin x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{+}{\searrow }& \\ {\mathrm{e}}^x& & -\cos x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{-}{\searrow }& \\ {\mathrm{e}}^x& & -\sin x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{⟶}{+\int }& \end{array}=-{\mathrm{e}}^x\cos x+{\mathrm{e}}^x\sin x-\underset{K}{\underbrace{\int {\mathrm{e}}^x\sin x\mathrm{d}x}}$

tj. $K=-{\mathrm{e}}^x\cos x+{\mathrm{e}}^x\sin x-K⟹K=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^x(\sin x-\cos x)+C$

C) Rozšíření na součin v případech kdy má smysl pracovat s derivací integrandu:

$\int \ln x\mathrm{d}x=\int 1\cdot \ln x\mathrm{d}x=\begin{array}{ccc}D& & I\\ \ln x& & 1\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{+}{\searrow }& \\ \frac{1}{x}& & x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{⟶}{-\int }& \end{array}=x\ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\mathrm{d}x=x\ln x-x+C$

$\int \text{arctg }x\mathrm{d}x=\int 1\cdot \text{arctg }x\mathrm{d}x=\begin{array}{ccc}D& & I\\ \text{arctg }x& & 1\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{+}{\searrow }& \\ \frac{1}{1+x^2}& & x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{⟶}{-\int }& \end{array}=x\text{arctg }x-\int \frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x=x\text{arctg }x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

Užití per partes k odvození vzorců

Primitivní funkce

$\begin{array}{cc}\int e^{\alpha x}\cos \omega x\mathrm{d}x& =\frac{e^{\alpha x}(\omega \sin \omega x+\alpha \cos \omega x)}{{\alpha }^2+{\omega }^2}+C\\ \int e^{\alpha x}\sin \omega x\mathrm{d}x& =\frac{e^{\alpha x}(\alpha \sin \omega x-\omega \cos \omega x)}{{\alpha }^2+{\omega }^2}+C,C\in ℝ\end{array}$

atd. $\dots$

Rekurentní vzorce

$\begin{array}{ccc}\int {\cos }^{n}x\mathrm{d}x=J_n& \text{potom}& J_{n+2}=\frac{1}{n+2}{\cos }^{n+1}x\sin x+\frac{n+1}{n+2}{J}_n\\ \int {\sin }^{n}x\mathrm{d}x=J_n& \text{potom}& J_{n+2}=-\frac{1}{n+2}{\sin }^{n+1}x\cos x+\frac{n+1}{n+2}{J}_n\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2{)}^n}=J_n& \text{potom}& J_{n+1}=\frac{1}{2n}(\frac{x}{(1+x^2{)}^n}+(2n-1)J_n)\end{array}$

atd. $\dots$

Per partes pro určitý integrál

Věta

Nechť $u(x)$ a $v(x)$ mají v intervalu $⟨a,b⟩$ spojitou první derivaci. Potom v intervalu $⟨a,b⟩$ platí:

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }v\mathrm{d}x={\left[uv\right]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}u{v}^{\prime }\mathrm{d}x\text{.}$$

Zápis ${\left[uv\right]}_a^b$ je zápis použitý v Newton-Leibnizově vzorci pro výpočet Newtonova určitého integrálu.

Příklad

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(x\cdot \sin x)\mathrm{d}x=[-x\cdot \cos x{]}_0^{\pi }+\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos x\mathrm{d}x=\pi$, kde bylo použito $u=x$, $v^{\prime }=\sin x$

Rychlá výpočetní metoda per partes

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{x}^3\sin x\mathrm{d}x=\begin{array}{ccc}D& & I\\ x^3& & \sin x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{+}{\searrow }& \\ 3x^2& & -\cos x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{-}{\searrow }& \\ 6x& & -\sin x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{+}{\searrow }& \\ 6& & \cos x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{-}{\searrow }& \\ 0& & \sin x\\ & \genfrac{}{}{0ex}{}{⟶}{+\int }& \end{array}=[-x^3\cos x+3x^2\sin x+6x\cos x-6\sin x+C{]}_0^{\pi }={\pi }^3-6\pi$

Odkazy

Externí odkazy

• WolframAlpha: Online výpočet neurčitého integrálu metodou per partes
• WolframAlpha: Online výpočet určitého integrálu metodou per partes

Související články

• Integrál
• Derivace
• Substituční metoda (integrování)