Relativistická hmotnost

Jedním z důsledků speciální teorie relativity je fakt, že hmotnost tělesa není neměnný parametr, ale musí se měnit v závislosti na pohybu vůči pozorovateli. Čím rychleji se těleso vůči pozorovateli pohybuje, tím větší má z pohledu pozorovatele hmotnost.

Relativistickou hmotnost lze spočítat podle vzorce

$m=m_0\cdot \gamma$,

kde $m$ je hmotnost změřená pozorovatelem, $m_0$ je klidová hmotnost pohybujícího se tělesa (nebo také invariantní či vlastní hmotnost) a $\gamma$ je Lorentzův faktor.

Použití Lorentzova faktoru zobecňuje Newtonovskou mechaniku – při běžných rychlostech se jeho hodnota limitně blíží jedné (a je tedy možné jej zanedbat), začne se projevovat až u rychlostí, které se řádově blíží rychlosti světla ve vakuu (a kde je proto fyzikální popis Newtonovské mechaniky nedostatečný).

Odvození

Uvažujme nepružnou srážku dvou těles popsanou ve dvou vztažných soustavách popsaných kartézskými souřadnicemi, přičemž boost, jehož rychlost je $\omega$, probíhá podél osy x. Rozepíšeme zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti v nečárkované a čárkované soustavě jako

$m_1+m_2=M,$

$v_1{m}_1+v_2{m}_2=VM,$

$m{\text{'}}_1+m{\text{'}}_2=M^{\prime },$

$v{\text{'}}_{1}m{\text{'}}_1+v{\text{'}}_{2}m{\text{'}}_2=V^{\prime }{M}^{\prime }.$

A doplníme relativistické vztahy pro skládání rychlostí

$v{\text{'}}_1=\frac{v_1-\omega }{1-\frac{v_1\omega }{c^2}},$

$v{\text{'}}_2=\frac{v_2-\omega }{1-\frac{v_2\omega }{c^2}},$

$V^{\prime }=\frac{V-\omega }{1-\frac{V\omega }{c^2}}.$

Pro jednoduchost popišme srážku ze dvou vztažných soustav, ve kterých je vždy jedno těleso v klidu. V první vztažné soustavě $S$ volíme $v_1=0$ (první těleso je v klidu a druhé přilétá rychlostí $v_2$ zleva). Ve druhé vztažné soustavě $S^{\prime }$ má být druhé těleso v klidu, a proto musí platit, že

$v_2=\omega$

Při této transformaci v soustavě $S^{\prime }$ pozorujeme, že druhé těleso je v klidu a první letí rychlostí $\omega$ vlevo.

${v_1}^{\prime }=-\omega$

${v_2}^{\prime }=0$

Nyní dosadíme zákon zachování hmotnosti do zákona zachování hybnosti v obou soustavách a získáme

$v_1{m}_1+v_2{m}_2=V(m_1+m_2),$

$v{\text{'}}_{1}m{\text{'}}_1+v{\text{'}}_{2}m{\text{'}}_2=V^{\prime }({m_1}^{\prime }+{m_2}^{\prime }).$

Po dosazení rychlostí se rovnice zjednoduší na tvar

$\omega m_2=V(m_1+m_2),$

$-\omega m{\text{'}}_1=V^{\prime }({m_1}^{\prime }+{m_2}^{\prime }).$

Z první rovnice vyjádříme $V$ a do druhé dosadíme transformační vztah pro $V^{\prime }$

$V=\frac{\omega m_2}{m_1+m_2},$

$-\omega m{\text{'}}_1=\frac{V-\omega }{1-\frac{V\omega }{c^2}}({m_1}^{\prime }+{m_2}^{\prime }).$

Nyní dosadíme první rovnici do druhé a získáme

$-\omega m{\text{'}}_1=\frac{\frac{\omega m_2}{m_1+m_2}-\omega }{1-\frac{m_2}{m_1+m_2}\frac{{\omega }^2}{c^2}}({m_1}^{\prime }+{m_2}^{\prime }).$

Tato rovnice říká, jak souvisí hmotnost těles v různých soustavách s vzájemnou rychlostí těchto soustav $\omega$, a proto následující úpravy budou mířit na separaci hmotností a rychlostí.

$-\omega m{\text{'}}_1=\frac{\frac{-\omega m_1}{m_1+m_2}}{\frac{m_1+m_2-m_2\frac{{\omega }^2}{c^2}}{m_1+m_2}}({m_1}^{\prime }+{m_2}^{\prime })$

$-\omega m{\text{'}}_1=\frac{-\omega m_1}{m_1+m_2-m_2\frac{{\omega }^2}{c^2}}({m_1}^{\prime }+{m_2}^{\prime })$

$m{\text{'}}_1=\frac{m_1}{m_1+m_2(1-\frac{{\omega }^2}{c^2})}({m_1}^{\prime }+{m_2}^{\prime })$

$m_1+m_2(1-\frac{{\omega }^2}{c^2})=\frac{m_1}{{m_1}^{\prime }}({m_1}^{\prime }+{m_2}^{\prime })$

$m_2(1-\frac{{\omega }^2}{c^2})=\frac{m_1}{{m_1}^{\prime }}{m_2}^{\prime }$

$1-\frac{{\omega }^2}{c^2}=\frac{m_1{m_2}^{\prime }}{{m_1}^{\prime }{m}_2}$

Nyní zaveďme $m_{01}$ klidovou hmotnost prvního tělesa a $m_{02}$ klidovou hmotnost druhého tělesa. (Klidovou hmotnost tělesa pozoruje pozorovatel, který je vůči tělesu v klidu.) V našem případě tedy můžeme psát, že

$m_1=m_{01}$

${m_2}^{\prime }=m_{02}$

Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu vůči pozorovateli. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Zkusme modifikovat hmotnost násobením neznámou funkcí $f(v)$ závisející na velikosti rychlosti tělesa vůči pozorovateli $v$. V našem případě proto můžeme psát

$m_2=m_{02}f(\omega ),$${m_1}^{\prime }=m_{01}f(\omega ).$Protože v soustavě $S$ se pohybuje druhé těleso rychlostí o velikosti $\omega$ a v soustavě $S^{\prime }$ se pohybuje první těleso rychlostí o velikosti $\omega$.

Dosazením vztahů pro hmotnosti do původní rovnice získáme

$1-\frac{{\omega }^2}{c^2}=\frac{m_{01}{m}_{02}}{m_{01}{m}_{02}f(\omega {)}^2}$

$f(\omega )=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\omega }^2}{c^2}}}$

Těleso, které se pohybuje vůči pozorovateli rychlostí $v$ má proto z pohledu pozorovatele hmotnost o velikosti

$m=m_{0}f(v)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=m_0\gamma$

kde jsme v původně neznámé funkci škálující hmotnost tělesa rozpoznali Lorentzův faktor.