Geometrická posloupnost

Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde každý člen kromě prvního je stálým násobkem předchozího členu. Tento násobek se nazývá kvocient geometrické posloupnosti a pro posloupnosti s nenulovými členy je roven podílu libovolného členu kromě prvního a členu předchozího.

Geometrickou posloupnost s nezápornými členy lze chápat jako zúžení exponenciální funkce na obor přirozených čísel (připouštíme však i základ 0 a 1) a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.

Vyjádření členů posloupnosti

Pro vyjádření n-tého členu geometrické posloupnosti s kvocientem q lze použít různé vztahy.

Rekurentní zadání

Geometrické posloupnosti lze definovat jako řešení lineární rekurentní rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty:

$a_{n+1}=a_n\cdot q$

Řešením lze zjistit vzorec pro libovolný člen:

$a_2=a_1\cdot q,a_3=a_1\cdot q^2,\dots ,a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

První člen a₁ má libovolnou hodnotu (je to tzv. počáteční podmínka), obecný vztah pro n-tý člen se dokáže snadno matematickou indukcí.

Zadání vzorcem pro n-tý člen

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.

Příklad

Například je-li $a_1=2,q=3$, pak několik prvních členů geometrické posloupnosti je: 2, 6, 18, 54, 162, 486 …

Pro $a_1=1,q=-1$ se jedná o posloupnost 1, -1, 1, -1, ...

Kvocient

Pro kvocient q a libovolné členy posloupnosti $a_r$ a $a_s$ platí:

$\frac{a_r}{a_s}=q^{r-s}$

Součet prvních n členů

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti se vypočítá (pro q≠1):

$s_n=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$

a pro q=1 samozřejmě (jedná se pak o konstantní aritmetickou posloupnost):

$s_n=n\cdot a_1$

Tento zvláštní případ lze také dostat z předchozího vzorce limitním přechodem pro $q\to 1$.

Vztahy platí v libovolném komutativním tělese, např. komplexních čísel.

Příklad

Součet prvních pěti členů posloupnosti z předchozího příkladu ($a_1=2,q=3$) je:

$s_5=2\cdot \frac{3^5-1}{3-1}=242$

Odvození vzorce

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti lze vyjádřit jako $s_n=a_1+a_2+\dots +a_n=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+\dots +a_1{q}^{n-1}$.

Vynásobením obou stran rovnice kvocientem q vznikne $s_{n}q=a_{1}q+a_1{q}^2+a_1{q}^3+\dots +a_1{q}^n$.

Odečtením první rovnice od druhé vyjde $s_{n}q-s_n=a_1{q}^n-a_1$.

Takže (je-li q různé od 1) platí

$s_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$.

Pro q = 1 je součet prvních n členů triviální, jedná se o (konstantní) aritmetickou posloupnost (lze dostat i limitním přechodem),

$s_n=n{a}_1.$

Jiný způsob odvození vzorce

Součet prvních $n$ členů posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:

$s_n=a_1+a_2+\dots +a_n$,

kde členy $a_2\dots a_n$ lze vyjádřit pomocí $a_1$:

$s_n=a_1+a_{1}q+\dots +a_1{q}^{n-1}$,

přičemž ze součtu lze vytknout $a_1$:

$s_n=a_1(1+q+\dots +q^{n-1})$.

Obdobně lze získat i vztah pro součet prvních $n+1$ členů (ve skutečnosti nás $s_{n+1}$ příliš nezajímá, ale bude se hodit pro další odvozování):

$s_{n+1}=a_1+a_2+\dots +a_{n+1}=a_1(1+q+\dots +q^n)$

Tento vzorec se ovšem velmi podobá předchozímu vztahu pro $s_n$. V podstatě lze $s_{n+1}$ vypočítat z $s_n$ dvěma způsoby:

• Součet $s_{n+1}$ má o jeden (poslední) člen více než $s_n$:

$s_{n+1}=s_n+a_1{q}^n$

• Závorka $(1+q+\dots +q^n)$ v $s_{n+1}$ je vlastně závorka $(1+q+\dots +q^{n-1})$ z $s_n$ vynásobená $q$ a ještě k ní je zleva přičtena 1:

$(1+q+\dots +q^n)=1+q(1+q+\dots +q^{n-1})$

Po vynásobení $a_1$ lze tuto skutečnost aplikovat na $s_{n+1}$ a $s_n$:

$a_1\cdot (1+q+\dots +q^n)=a_1\cdot 1+a_1\cdot q(1+q+\dots +q^{n-1})$

$s_{n+1}=a_1+q{s}_n$

Získali jsme tak dvě různé možnosti, jak vypočítat $s_{n+1}$. Protože tyto dvě možnosti musí dávat stejný výsledek, lze mezi ně položit rovnítko:

$s_n+a_1{q}^n=a_1+q{s}_n$

Z takto sestavené rovnice lze po několika úpravách získat hledaný vzorec pro výpočet $s_n$ (v tomto okamžiku už pro nás vlastní součet $s_{n+1}$ přestává být zajímavý):

$s_n-q{s}_n=a_1-a_1{q}^n$

$s_n(1-q)=a_1(1-q^n)$

$s_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$

Geometrická řada

Součet členů geometrické posloupnosti je označován jako geometrická řada.

Součet geometrické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_1}{1-q}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_1\cdot q^n}{1-q}\to \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=\{\begin{array}{cc}\frac{a_1}{1-q}& \text{ pro }\left|q\right|<1\\ \pm \mathrm{\infty },& \text{ pro }q\ge 1,a_1\ne 0\\ \text{nekonverguje (osciluje)}& \text{ pro }q\le -1\end{array}$

Geometrická řada tedy konverguje, je-li absolutní hodnota kvocientu q menší než 1.

Vyjádření periodického čísla zlomkem pomocí geometrické řady

Příklad

Napište jako zlomek s celočíselným čitatelem i jmenovatelem: $0,\bar{7}$

Zapíšeme nejprve jako desetinný rozvoj:

$0,\bar{7}=\frac{7}{10}+\frac{7}{100}+\frac{7}{1000}+$...

Pak $q=\frac{1}{10}$ (|q| < 1) → konvergentní řada → můžeme vypočítat její součet pomocí vzorečku:

$s=\frac{a_1}{1-q}$

kde $a_1$ = 1. člen posloupnosti, q = kvocient

$s=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{10-1}=\frac{7}{9}$

$0,\bar{7}=\frac{7}{9}$

Souvislost s geometrickým průměrem

Pro geometrickou posloupnost komplexních čísel platí, že absolutní hodnota každého členu kromě prvního je geometrickým průměrem absolutních hodnot sousedních členů:

$|a_n|=\sqrt{|a_{n-1}|\cdot |a_{n+1}|}$

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti (s nezápornými členy) počínaje druhým, tak se jedná o geometrickou posloupnost. Dokáže se např. převedením na aritmetickou posloupnost (logaritmováním).

Souvislost s aritmetickou posloupností

Je-li posloupnost $g_n$ geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost ${\log }_b{g}_n$ aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Je-li posloupnost $a_n$ aritmetická, tak je posloupnost $b^{a_n}$ geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Související články

• Aritmetická posloupnost
• Harmonická posloupnost
• Aritmeticko-geometrická posloupnost
• Mocninná řada
• Logaritmická stupnice