Spojení a průsek

Tento Hasseův diagram zobrazuje částečně uspořádanou množinu se čtyřmi prvky: a, b, největší prvek a $\vee$ b rovný spojení a a b, a nejmenší prvek a $\wedge$ b rovný průseku a a b. Spojení největšího prvku s libovolným prvkem se rovná největšímu prvku, a průsek nejmenšího prvku s libovolným prvkem je nejmenší prvek. Průsek největšího prvku s libovolným prvkem se rovná tomu druhému prvku a spojení nejmenšího prvku s libovolným prvkem se rovná tomu druhému prvku. Tedy každá dvojice v této uspořádané množině má jak průsek tak spojení, a uspořádaná množina tvoří svaz.

V matematice, konkrétně v teorii uspořádání, spojení podmnožiny $S$ uspořádané množiny $P$ je supremum (nejmenší horní závora) množiny $S,$ které značíme $\bigvee S.$ A obdobně průsek podmnožiny $S$ je infimum (největší dolní závora), které značíme $\bigwedge S.$ Spojení a/nebo průsek podmnožiny částečně uspořádané množiny nemusí vždy existovat. Spojení a průsek jsou navzájem duální podle uspořádání inverzní.

Částečně uspořádaná množina, v níž má každá dvojice prvků supremum neboli spojení, nazýváme spojový polosvaz.Šablona:Sfn Duálně, částečně uspořádaná množina, v níž má každá dvojice prvků infimum neboli průsek, nazýváme průsekový polosvaz.Šablona:Sfn Částečně uspořádanou množinu, která je jak spojovým polosvazem tak průsekovým polosvazem nazýváme svaz. Svaz, ve kterém nejen každá dvojice, ale i každá podmnožina má průsek a spojení je úplný svaz. Je také možné definovat částečný svaz, ve kterém všechny dvojice prvků nemusí mít průsek nebo spojení, ale tyto operace (pokud jsou definovány) vyhovují určitým axiomům.

V případě lineárně uspořádané množiny je spojení resp. průsek podmnožiny prostě největší resp. nejmenší prvek její podmnožiny, pokud takový prvek existuje.

Pokud podmnožina $S$ částečně uspořádané množiny $P$ je také (nahoru) usměrněná, pak se její spojení (pokud existuje) nazývá orientované spojení nebo orientované supremum. Duálně, pokud $S$ je dolů usměrněná množina, pak se její průsek (pokud existuje) nazývá orientovaný průsek nebo orientované infimum.

Definice

Pro částečně uspořádané množiny

Nechť $A$ je množina s částečným uspořádáním $\le ,$ a nechť $x,y\in A.$ Prvek $m$ množiny $A$ se nazývá Šablona:Kotvaspojení (nebo Šablona:Kotvanejvětší dolní závora nebo Šablona:Kotvainfimum) množiny $\{x,y\}$ a značí se $x\wedge y,$ pokud jsou splněny následující dvě podmínky:

1. $m\le x\text{ a }m\le y$ (tj. $m$ je dolní závora množiny $\{x,y\}$).
2. Pro libovolný $w\in A,$ pokud $w\le x\text{ a }w\le y,$ pak $w\le m$ (tj. $m$ je větší nebo rovno jiné dolní závoře množiny $\{x,y\}$).

Průsek nemusí existovat, buď protože dvojice nemá vůbec žádnou dolní závoru, anebo protože žádná z dolních závor není větší než všechny ostatní. Pokud však existuje průsek množiny $\{x,y\},$ pak je jediný, protože, pokud oba $m\text{ a }{m}^{\prime }$ jsou největší dolní závory množiny $\{x,y\},$ pak $m\le m^{\prime }\text{ a }{m}^{\prime }\le m,$ a tedy $m=m^{\prime }.$ Pokud všechny dvojice prvků z $A$ nemají průsek, pak průsek můžeme stále chápat jako částečnou binární operaci na $A.$

Pokud průsek existuje, značí se $x\wedge y.$ Pokud všechny dvojice prvků z $A$ mají průsek, pak je průsek binární operací na $A,$ a lze snadno vidět, že toto operace splňuje následující tři podmínky: Pro libovolné prvky $x,y,z\in A,$

1. $x\wedge y=y\wedge x$ (komutativita),
2. $x\wedge (y\wedge z)=(x\wedge y)\wedge z$ (asociativita), a
3. $x\wedge x=x$ (idempotence).

Spojení jsou definovaný duálně s spojení množiny $\{x,y\},$ pokud existuje, značí se $x\vee y.$ Prvek $j$ množiny $A$ je Šablona:Kotvaspojení (nebo Šablona:Kotvanejmenší horní závora nebo Šablona:Kotvasupremum) množiny $\{x,y\}$ v $A$ pokud jsou splněny následující dvě podmínky:

1. $x\le j\text{ a }y\le j$ (tj. $j$ je horní závora $\{x,y\}$).
2. Pro libovolné $w\in A,$ pokud $x\le w\text{ a }y\le w,$ pak $j\le w$ (tj. $j$ je menší nebo rovno jiné horní závoře $\{x,y\}$).

Algebraická definice

Podle definice Binární operace $\wedge$ na množina $A$ je spojení, pokud splňuje tři podmínky a, b a c. Dvojice $(A,\wedge )$ pak je průsekový polosvaz. Navíc pak můžeme definovat binární relaci $\le$ na A, by uvádí, že $x\le y$ právě tehdy, když $x\wedge y=x.$ Tato relace je vlastně částečným uspořádáním na $A.$ Skutečně, pro libovolné prvky $x,y,z\in A,$

• $x\le x,$ protože $x\wedge x=x$ podle c;
• pokud $x\le y\text{ a }y\le x$ pak $x=x\wedge y=y\wedge x=y$ podle a; a
• pokud $x\le y\text{ a }y\le z$ pak $x\le z$ od té doby $x\wedge z=(x\wedge y)\wedge z=x\wedge (y\wedge z)=x\wedge y=x$ podle b.

Průseky i spojení také vyhovují této definici: dvojice souvisejících operací průseku a spojení dávají částečná uspořádání, která jsou svým vzájemným opakem. Při výběru jednoho z těchto uspořádání jako hlavního také fixujeme, kterou operaci považujeme za průsek (tu, která dává stejné uspořádání), a kterou považujeme za spojení (tu druhou).

Ekvivalence přístupů

Pokud $(A,\le )$ je uspořádaná množina taková, že každá dvojice prvků v $A$ má průsek, pak skutečně $x\wedge y=x$ právě tehdy, když $x\le y,$ protože ve druhém případě skutečně $x$ je dolní závorou $\{x,y\},$ a protože $x$ je největší dolní závora právě tehdy, když je dolní závora. Částečné uspořádání definované průsekem v přístupu vycházejícím z univerzální algebry se tedy shoduje s původní částečným uspořádáním.

Opačně, pokud $(A,\wedge )$ je průsekový polosvaz, a částečné uspořádání $\le$ je definované jako v přístupu vycházejícím z univerzální algebry, a $z=x\wedge y$ pro nějaké prvky $x,y\in A,$ pak $z$ je největší dolní závorou množiny $\{x,y\}$ s uspořádáním $\le ,$ protože

$z\wedge x=x\wedge z=x\wedge (x\wedge y)=(x\wedge x)\wedge y=x\wedge y=z$

a proto $z\le x.$ Obdobně $z\le y,$ a pokud $w$ je jiná dolní závora množiny $\{x,y\},$ pak $w\wedge x=w\wedge y=w,$ protože

$w\wedge z=w\wedge (x\wedge y)=(w\wedge x)\wedge y=w\wedge y=w.$

Existuje tedy průsek definovaný částečným uspořádáním definovaným původním průsekem, a oba průseky se shodují.

Jinými slovy, oba přístupy dávají v zásadě stejný výsledek, množinu opatřenou binární relací a binární operací, přičemž každá ztěchto struktur určuje tu druhou, a splňuje podmínku pro částečné uspořádání, respektive pro průseky.

Průseky obecných podmnožin

Pokud $(A,\wedge )$ je průsekový polosvaz, pak průsek může být rozšířena dobře definovaný průsek libovolné neprázdné konečné množiny, postupem popsaným v opakovaný binární operace. Alternativně, pokud průsek definuje nebo je definovaný vztahem částečné uspořádání, některé podmnožiny $A$ skutečně mít infima podle toto, a je významné považovat takový infimum jako průsek podmnožiny. Pro neprázdné konečné podmnožiny, dva přístupy dává stejný výsledek, a tak jak může být převzaté jako definice průsek. V případě, kdy každá podmnožina $A$ má průsek, vlastně $(A,\le )$ je Úplný svaz; pro detaily, viz úplnost (uspořádání teorie).

Příklady

Pokud je nějaká potenční množina $\mathrm{\wp }(X)$ částečně uspořádaná obvyklým způsobem (inkluzí, tj. relací $\subseteq$) pak spojení jsou sjednocení a průseky jsou průniky; při znázornění pomocí symbolů $\vee =\cup \text{ a }\wedge =\cap$ (kde podobnost těchto symbolů může posloužit pro zapamatování, že $\vee$ označuje spojení neboli supremum a $\wedge$ průsek neboli infimumŠablona:Poznámka).

Obecněji, za předpokladu, že $ℱ\ne \varnothing$ je systém podmnožin nějaké množiny $X,$ který je částečně uspořádaný inkluzí $\subseteq .$ Pokud $ℱ$ je uzavřený pro libovolná sjednocení a libovolné průniky, a pokud $A,B,{\left(F_i\right)}_{i\in I}$ patří do $ℱ$ pak

$A\vee B=A\cup B,A\wedge B=A\cap B,\underset{i\in I}{\bigvee }{F}_i=\bigcup _{i\in I}{F}_i,\text{ a }\underset{i\in I}{\bigwedge }{F}_i=\bigcap _{i\in I}{F}_i.$

pokud však systém $ℱ$ není uzavřený pro sjednocení, pak $A\vee B$ existuje v $(ℱ,\subseteq )$ právě tehdy, když existuje jediný $\subseteq$-nejmenší $J\in ℱ$ takový, že $A\cup B\subseteq J.$ Pokud například $ℱ=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},ℝ\}$ pak $\{1\}\vee \{2\}=\{1,2,3\},$ zatímco pokud $ℱ=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\{0,1,2\},ℝ\}$ pak $\{1\}\vee \{2\}$ neexistuje, protože množiny $\{0,1,2\}\text{ a }\{1,2,3\}$ jsou jediné horní závory množiny $\{1\}\text{ a }\{2\}$ v $(ℱ,\subseteq )$ což by mohlo případně být nejmenší horní závora $\{1\}\vee \{2\}$ ale $\{0,1,2\}\subseteq ̸\{1,2,3\}$ a $\{1,2,3\}\subseteq ̸\{0,1,2\}.$ Pokud $ℱ=\{\{1\},\{2\},\{0,2,3\},\{0,1,3\}\}$ pak $\{1\}\vee \{2\}$ neexistuje, protože neexistuje žádná horní závora množin $\{1\}\text{ a }\{2\}$ v $(ℱ,\subseteq ).$

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Loálně konvexní svaz vektorů