Cikcak lemma

Cikcak lemma v matematice, zvláště v homologické algebře, postuluje existenci určité dlouhé exaktní posloupnosti v grupách homologií určitých řetězcových komplexů. Výsledek platí v každé Abelova kategorie.

Tvrzení

V abelovské kategorii (např. v kategorii abelovských grup nebo v kategorii vektorových prostorů nad daným tělesem), nechť $(𝒜,{\partial }_{\bullet }),(ℬ,{\partial }_{{\bullet }^{\prime }})$ a $(𝒞,{\partial }_{{\bullet }^{″}})$ jsou řetězcové komplexy, které vyhovují následující krátké exaktní posloupnosti:

$0⟶𝒜\stackrel{\alpha }{⟶}ℬ\stackrel{\beta }{⟶}𝒞⟶0$

Tato posloupnost je zkratkou následujícího komutativního diagramu:

kde řádky jsou exaktní posloupnosti a každý sloupec je řetězcový komplex.

Cikcak lemma říká, že existuje kolekce hraničních zobrazení

${\delta }_n:H_n(𝒞)⟶H_{n-1}(𝒜),$

díky níž je následující posloupnost exaktní:

Zobrazení ${\alpha }_{*}^{}$ a ${\beta }_{*}^{}$ jsou obvyklá zobrazení indukovaná homologií. Hraniční zobrazení ${\delta }_n^{}$ jsou vysvětlený níže. Jméno lemmatu vychází z „cikcak“ chování zobrazení v posloupnosti. Jiná verze cikcak lemmatu je známa jako „hadí lemma“ (ta vytahuje podstatu důkazu cikcak lemmatu uvedeného níže).

Konstrukce hraničních zobrazení

Zobrazení ${\delta }_n^{}$ jsou definovány pomocí standardních argumentů diagramatického nahánění. Nechť $c\in C_n$ reprezentuje třída v $H_n(𝒞)$, tak ${{\partial }_n}^{″}(c)=0$. Z exaktnosti řádku vyplývá, že ${\beta }_n^{}$ je surjektivní, takže musí existovat nějaké $b\in B_n$ s ${\beta }_n^{}(b)=c$. Díky komutativitě digramu

${\beta }_{n-1}{{\partial }_n}^{\prime }(b)={{\partial }_n}^{″}{\beta }_n(b)={{\partial }_n}^{″}(c)=0.$

z exaktnosti

${{\partial }_n}^{\prime }(b)\in \ker {\beta }_{n-1}=\mathrm{i}\mathrm{m}{\alpha }_{n-1}.$

Díky tomu, protože ${\alpha }_{n-1}^{}$ je injektivní, existuje jediný prvek $a\in A_{n-1}$ takový, že ${\alpha }_{n-1}(a)={{\partial }_n}^{\prime }(b)$. To je cyklus, protože ${\alpha }_{n-2}^{}$ je injektivní a

${\alpha }_{n-2}{\partial }_{n-1}(a)={\partial }_{n^{\prime }-1}{\alpha }_{n-1}(a)={\partial }_{n^{\prime }-1}{{\partial }_n}^{\prime }(b)=0,$

protože ${\partial }^2=0$. Tj. ${\partial }_{n-1}(a)\in \ker {\alpha }_{n-2}=\{0\}$. To znamená, že $a$ je cyklus, který reprezentuje nějakou třídu v $H_{n-1}(𝒜)$. Nyní můžeme definovat

${\delta }_{}^{}[c]=[a].$

Jsou-li definována hraniční zobrazení, můžeme ukázat, že jsou dobře definovaná (tj. nezávislá na volbě c a b). Důkaz používá podobné argumenty při diagramatickém nahánění jako výše. Tyto argumenty se také používají, pro důkaz, že posloupnost v homologii je exaktní na každé grupě.

Odkazy

Reference

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Mayerova–Vietorisova posloupnost