Grupový homomorfismus

Znázornění grupového homomorfismu (h) grupy G (vlevo) do grupy H (vpravo). Ovál uvnitř H je obraz homomorfismu h. N je jádro homomorfismu h a aN je třída rozkladu homomorfismu N.

Grupový homomorfismus grupy (G,∗) do grupy (H, ·) je v matematice zobrazení h : G → H takové, že pro libovolné dva prvky u a v grupy G platí

$h(u*v)=h(u)\cdot h(v)$

kde grupová operace na levé straně rovnice je operace grupy G a na pravé straně operace grupy H.

Z této vlastnosti lze odvodit, že h převádí neutrální prvek e_G grupy G na neutrální prvek e_H grupy H:

$h(e_G)=e_H$

a také převádí inverzní prvky na inverzní prvky v tom smyslu, že

$h\left(u^{-1}\right)=h(u{)}^{-1}.$

Je tedy možné říct, že h „je kompatibilní se strukturou grupy“.

V oblastech matematiky, v nichž se pracuje s grupami doplněnými další strukturou, homomorfismus někdy znamená zobrazení, které zachovává nejen výše popsanou strukturu grupy, ale také tuto další strukturu. Například u homomorfismu topologických grup se často požaduje, aby byl spojitý.

Intuice

Účelem grupového homomorfismu je vytvořit funkce, které zachovávají algebraickou strukturu. Ekvivalentní definice grupového homomorfismu je: Funkce h : G → H je grupový homomorfismus právě tehdy, když

z a ∗ b = c   plyne   h(a) ⋅ h(b) = h(c).

Jinými slovy to znamená, že grupa H má v určitém smyslu podobnou algebraickou strukturu jako G a homomorfismus h tuto strukturu zachovává.

Typy

MonomorfismusŠablona:Kotva

Grupový homomorfismus, který je injektivní (nebo, jeden-to-jeden); tj. zachovává rozdílnost.

Epimorfismus

Grupový homomorfismus, který je surjektivní (zobrazení „na“); tj. jeho obrazem jsou všechny prvky v cílové množině.

Izomorfismus

Grupový homomorfismus, který je bijektivní; tj. injektivní a surjektivní. Jeho inverze je také grupový homomorfismus. V tomto případě se grupy G a H nazývají izomorfní; liší se pouze názvy svých prvků (kromě prvku identity) a jsou pro všechny praktické účely identické. To znamená, že všechny prvky kromě identity mají jiné názvy.

Endomorfismus

Grupový homomorfismus, h: G → G; definiční obor a cílová množina jsou stejné. Také mluvíme o endomorfismu grupy G.

Automorfismus

Bijektivní grupový endomorfismus, tj. izomorfismus. Množina všech automorfismů grupy G, s operací skládání funkcionálů také tvoří grupu, grupu automorfismů grupy G, kterou značíme Aut(G). Příkladem je grupa automorfismů (Z, +), která obsahuje pouze dva prvky, identickou transformaci a násobení číslem −1; je izomorfní s (Z/2Z, +).

Obraz a jádro

Šablona:Podrobně Definujeme jádro homomorfismu h jako množinu prvků v G které jsou zobrazeny na identitu v H

$\ker (h):=\{u\in G:h(u)=e_H\}.$

a obraz homomorfismu h jako množinu prvků v H které jsou obrazem grupy G homomorfismem h

$\mathrm{im}(h):=h(G)\equiv \{h(u):u\in G\}.$

Jádro a obraz homomorfismu lze povařovat za určení míry, jak blízký je k izomorfismu. první věta o izomorfismu říká, že obraz grupového homomorfismu h(G) je izomorfní s faktorovou grupou G/ker h.

Jádro homomorfismu h je normální podgrupa grupy G. Předpokládá $u\in \ker (h)$ a ukazují $g^{-1}\circ u\circ g\in \ker (h)$ pro libovolný $u,g$:

$\begin{array}{cc}h(g^{-1}\circ u\circ g)& =h(g{)}^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\ & =h(g{)}^{-1}\cdot e_H\cdot h(g)\\ & =h(g{)}^{-1}\cdot h(g)=e_H,\end{array}$

Obrazem homomorfismu h je podgrupa grupy H.

Homomorfismus h je grupový monomorfismus; tj. h je injektivní (jeden-to-jeden) právě tehdy, když Šablona:Nowrap}. Z injektivity přímo plyne, že existuje jediný prvek v jádře, a opačně, jediný prvek v jádře dává injektivitu:

$\begin{array}{cccc}& & h(g_1)& =h(g_2)\\ \iff & & h(g_1)\cdot h(g_2{)}^{-1}& =e_H\\ \iff & & h(g_1\circ g_2^{-1})& =e_H,\ker (h)=\{e_G\}\\ \Rightarrow & & g_1\circ g_2^{-1}& =e_G\\ \iff & & g_1& =g_2\end{array}$

Příklady

• Uvažujme cyklickou grupu ZŠablona:Sub = (Z/3Z, +) = ({0, 1, 2}, +) a grupu celých čísel (Z, +). Map h : Z → Z/3Z s h(u) = u mod 3 je grupový homomorfismus. Je surjektivní a jeho jádro sestává ze všech celých čísel, která jsou dělitelná třemi.
• Množina $G\equiv \left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)\right|a>0,b\in 𝐑\}$tvoří grupu s operací násobení matic. Pro libovolné komplexní číslo u funkce f_u : G → C^* definovaná vztahem:$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)\mapsto a^u$je grupovým homomorfismem.
• Uvažujme multiplikativní grupu kladných reálných čísel (R⁺, ⋅) pro libovolné komplexní číslo u. Potom funkce f_u : R⁺ → C definovaná vztahem:$f_u(a)=a^u$ je grupový homomorfismus.
• Exponenciální zobrazení dává grupový homomorfismus grupy reálných čísel R s operací sčítání na grupu nenulových reálných čísla R* s násobením. Jádro je {0} a obraz sestává z kladných reálných čísel.
• Exponenciální zobrazení také dává grupový homomorfismus grupy komplexních čísel C se sčítání do grupa nenulových komplexních čísel C* s násobení. Toto zobrazení je surjektivní a má jádro {2πki : k ∈ Z}, jak je vidět z Eulerova vzorce. Tělesa jako R a C, která mají homomorfismy své aditivní grupy do své multiplikativní grupy, se tedy nazývají exponenciální tělesa.
• Funkce $\mathrm{\Phi }:(\mathbb{N},+)\to (ℝ,+)$, definovaná vztahem $\mathrm{\Phi }(x)=\sqrt[]{2}x$ je homomorfismus.
• Uvažujme dvě grupy $({ℝ}^{+},*)$ a $(ℝ,+)$, reprezentované $G$, resp. $H$, kde ${ℝ}^{+}$ jsou kladná reálná čísla. Potom funkce $f:G\to H$ definovaná funkcí logaritmus je homomorfismus.

Kategorie grup

Pokud Šablona:Nowrap a Šablona:Nowrap jsou grupové homomorfismy, pak Šablona:Nowrap je také grupový homomorfismus. To ukazuje, že třída všech grup s morfismy tvořenými grupovými homomorfismy, tvoří kategorii (konkrétně kategorii grup).

Homomorfismy Abelových grup

Pokud G a H jsou Abelovy (tj. komutativní) grupy, pak množina Šablona:Nowrap všech grupových homomorfismů z G na H je také Abelova grupa: součet Šablona:Nowrap dvou homomorfismů je definovaný vztahem

(h + k)(u) = h(u) + k(u)    pro všechna u z G.

K důkazu, že Šablona:Nowrap je také grupový homomorfismus je potřebná komutativita grupy H.

Sčítání homomorfismů je kompatibilní se skládáním homomorfismů v následující smyslu:, pokud f je v Šablona:Nowrap, h, k jsou prvky Šablona:Nowrap, a g je v Šablona:Nowrap, pak

Šablona:Nowrap    a    Šablona:Nowrap.

Protože skládání je asociativní, množina End(G) všech endomorfismů Abelovy grupy tvoří okruh nazývaný okruh endomorfismů grupy G. Například okruh endomorfismů Abelovy grupy tvořený direktním součtem m kopií grupy Z/nZ je izomorfní s okruhem matic m krát m s hodnotami z grupy Z/nZ. Výše uvedená kompatibilita také ukazuje, že kategorie všech Abelových grup s grupovými homomorfismy tvoří preaditivní kategorii; existence direktních součtů a rozumných jader činí z této kategorie prototypický příklad Abelovy kategorie.

Odkazy

Reference

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Homomorfismus
• Věta o homomorfismu
• Kvazimorfismus
• Okruhový homomorfismus

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:MathWorld