Banachův prostor

Banachovy prostory jsou normované lineární prostory, které jsou navíc úplné. Jsou to jedny z ústředních objektů zkoumání funkcionální analýzy. Jsou pojmenovány podle Stefana Banacha, který je studoval.

Definice

Banachovým prostorem rozumíme úplný normovaný lineární prostor. To znamená, že Banachův prostor je vektorový prostor $V$ nad tělesem reálných nebo komplexních čísel s normou $‖ \cdot ‖$ , ve kterém má každá cauchyovská posloupnost v indukované metrice $d (x, y) = ‖ x - y ‖$ vlastní limitu.

Prostory $ℝ^{n}$ a $ℂ^{n}$ (všechny n-tice reálných či komplexních čísel) jsou Banachovy v libovolné normě. Opatříme-li prostory $ℝ^{n}$ a $ℂ^{n}$ eukleidovskou normou

‖ x ‖ : = \sqrt{| x_{1} |^{2} + \dots + | x_{n} |^{2}}

,

pro

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

, budou dokonce Hilbertovy.

‖ f ‖_{\infty} : = \max_{t \in [a, b]} | f (t) |

je Banachův.

‖ f ‖_{1} : = \int_{a}^{b} | f (t) | d t

nebo

‖ f ‖_{2} : = \sqrt{\int_{a}^{b} | f (t) |^{2} d t}

,

Banachův již nebude.

Jestliže X je normovaný lineární prostor a Y je Banachův prostor, potom prostor všech omezených lineárních operátorů z X do Y s normou

‖ A ‖ : = \sup {‖ A x ‖ : x \in X, ‖ x ‖ \leq 1}

je Banachův prostor. Speciálně duální prostor X* k prostoru X je vždy Banachův, neboť v takovém případě

Y = ℂ

.