Derivace množiny

Derivace množiny $S$ v topologickém prostoru je v obecné topologii (odvětví matematiky) množina všech limitních bodů množiny $S.$ Obvykle se značí $S^{\prime }.$

Derivaci množiny zavedl v roce 1872 Georg Cantor, který rozvinul teorii množin především pro studium derivovaných množin na reálné ose.

Příklady

Intuitivní: Na množině $ℝ$ všech reálných čísel s její obvyklou eukleidovskou topologií je derivací polootevřeného intervalu $⟨0,1)$ uzavřený interval $⟨0,1⟩.$

Neintuitivní: Uvažujme $ℝ$ s topologií tvořenou prázdnou množinou a jakoukoli podmnožinou $ℝ,$ která obsahuje 1 (což je hodně neintuitivní pojetí otevřených množin). Derivace množiny $A=\{1\}$ je $A^{\prime }=ℝ\setminus \{1\}.$Šablona:Sfn

Vlastnosti

Pokud $A$ a $B$ jsou libovolné podmnožiny topologického prostoru $(X,ℱ),$ pak derivace má následující vlastnosti:Šablona:Sfn

• ${\varnothing }^{\prime }=\varnothing$
• $a\in A^{\prime }⟹a\in (A\setminus \{a\}{)}^{\prime }$
• $(A\cup B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cup B^{\prime }$
• $A\subseteq B⟹A^{\prime }\subseteq B^{\prime }$

Podmnožina $S$ topologického prostoru je uzavřená právě tehdy, když $S^{\prime }\subseteq S,$Šablona:Sfn, neboli když $S$ obsahuje všechny své limitní body. Pro jakoukoli podmnožinu $S$ je množina $S\cup S^{\prime }$ uzavřená a je rovna uzávěru množiny $S$ (tj. množině $\bar{S}$).Šablona:Sfn

Derivace podmnožiny prostoru $X$ obecně nemusí být uzavřená. Pokud vezmeme například $X=\{a,b\}$ s triviální topologií, množina $S=\{a\}$ má derivaci $S^{\prime }=\{b\},$ která v $X$ není uzavřená. Derivace uzavřené množiny je však vždy uzavřená. (Důkaz: Předpokládejme, že $S$ je uzavřená podmnožina $X,$ což znamená, že $S^{\prime }\subseteq S.$ Aplikací derivace na obě strany dostaneme $S^{″}\subseteq S^{\prime },$ takže $S^{\prime }$ je uzavřená v $X.$) Pokud $X$ je navíc T₁ prostor, pak derivace každé podmnožiny $X$ je uzavřená v $X.$Šablona:Sfn

Dvě podmnožiny $S$ a $T$ jsou oddělené právě tehdy, když jsou disjunktní a každá z nich je disjunktní s derivací druhé (derivace množin vzájemně disjunktní být nemusí). Tato podmínka se často zapisuje pomocí uzávěrů:

$(S\cap \overline{T})\cup (\overline{S}\cap T)=\varnothing ,$

a nazývá se Hausdorffova-Lennesova oddělovací podmínka.Šablona:Sfn

Bijekce mezi dvěma topologickými prostory je homeomorfismem právě tehdy, když derivace obrazu (v druhém prostoru) jakékoli podmnožiny prvního prostoru je stejná jako obraz derivace této podmnožiny.Šablona:Sfn

Prostor je T₁ prostor, pokud každá množina obsahující pouze jeden bod je uzavřená.Šablona:Sfn V T₁ prostoru je derivace jednoprvkové množiny vždy prázdná (prostor ve druhém příkladě není T₁ prostor). Z toho plyne, že v T₁ prostorech je derivace jakékoli konečné množiny prázdná, a že pro jakoukoli podmnožinu $S$ a jakýkoli bod $p$ prostoru platí

$(S-\{p\})=S^{\prime }=(S\cup \{p\}).$

Jinými slovy, derivace se nezmění, pokud výchozí množinu změníme přidáním nebo odstraněním konečného počtu bodů.Šablona:Sfn Je možné také ukázat, že v T₁ prostoru platí $\left(S^{\prime }\right)\subseteq S^{\prime }$ pro jakoukoli podmnožinu $S.$Šablona:Sfn

Množina $S$ taková, že $S\subseteq S^{\prime },$ se nazývá hustá v sobě a nemůže obsahovat žádné izolované body. Množina $S$ taková, že $S=S^{\prime },$ se nazývá dokonalá.Šablona:Sfn Dokonalá množina je tedy uzavřená a hustá v sobě, neboli jinak řečeno, je to uzavřená množina bez izolovaných bodů. Dokonalé množiny jsou obzvláště důležité při aplikaci Baireovy věty o kategoriích.

Cantorova–Bendixsonova věta říká, že jakýkoli polský prostor lze zapsat jako sjednocení spočetné množiny a dokonalé množiny. Protože jakákoli G_δ podmnožina polského prostoru je opět polský prostor, z této věty také plyne, že jakákoli G_δ podmnožina polského prostoru je sjednocením spočetné množiny a množiny, které je dokonalá vzhledem k indukované topologii.

Topologie definovaná pomocí derivovaných množin

Protože homeomorfismy lze úplně popsat pomocí derivovaných množin, byly derivované množiny v topologii používány jako primitivní pojem. Množině bodů $X$ lze přiřadit operátor $S\mapsto S^{*},$ který zobrazuje podmnožiny $X$ na podmnožiny $X$ tak, že pro jakoukoli množinu $S$ a jakýkoli bod $a$ platí:

1. ${\varnothing }^{*}=\varnothing$
2. $S^{**}\subseteq S^{*}\cup S$
3. $a\in S^{*}$ implikuje $a\in (S\setminus \{a\}{)}^{*}$
4. $(S\cup T{)}^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*}$
5. $S\subseteq T$ implikuje $S^{*}\subseteq T^{*}.$

Množinu $S$ nazveme uzavřenou, pokud $S^{*}\subseteq S$ definuje topologii na prostoru, ve kterém $S\mapsto X^{*}$ je operátorem derivace, tj. $S^{*}=S^{\prime }.$

Cantorova–Bendixsonova hodnost

Pro libovolné ordinální číslo $\alpha$ definujeme $\alpha$-tou Cantorovu–Bendixsonovu derivaci topologického prostoru opakovanou aplikací operace derivace pomocí transfinitní indukce takto:

• $X^0=X$
• $X^{\alpha +1}=\left(X^{\alpha }\right)$
• $X^{\lambda }=\bigcap _{\alpha <\lambda }{X}^{\alpha }$ pro limitní ordinály $\lambda .$

Transfinitní posloupnost Cantorových–Bendixsonových derivací $X$ musí být od jistého bodu konstantní. Nejmenší ordinál $\alpha$ takový, že $X^{\alpha +1}=X^{\alpha }$ se nazývá Cantorův–Bendixsonův stupeň $X.$

Odkazy

Reference

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Sierpiński, Wacław F.; překlad Krieger, C. Cecilia (1952). General Topology. Toronto University Press.

Související články

• Bod uzávěru
• Kondenzační bod
• Izolovaný bod
• Limitní bod

Externí odkazy

• Tento článek obsahuje materiál ze stránky Cantor–Bendixson derivative na PlanetMath, jejíž licence umožňuje dále šířit publikované texty.