Matice soustavy

Matice soustavy, též matice koeficientů, je v lineární algebře matice vytvořená z koeficientů neznámých proměnných soustavy lineárních rovnic. Matice se používá pro určení množiny řešení soustavy.

Definice

Soustavu $m$ lineárních rovnic o $n$ neznámých lze obecně zapsat ve tvaru

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n& =& b_2\\ & ⋮& \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n& =& b_m\end{array}$

kde $x_1,x_2,...,x_n$ jsou neznámé a čísla $a_{11},a_{12},...,a_{mn}$ jsou koeficienty soustavy. Matice soustavy je matice typu $m\times n$, jejíž prvky na souřadnicích $i$ a $j$ jsou koeficienty $a_{ij}$:

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$

Soustavu rovnic pak lze vyjádřit stručněji jedinou rovnicí

$𝑨𝒙=𝒃$,

kde $𝑨$ je matice soustavy a $𝒃$ je sloupcový vektor pravých stran, též nazývaný vektor konstantních členů.

Rozšířená matice soustavy

Rozšířená matice soustavy je přepis soustavy $m$ lineárních rovnic o $n$ neznámých

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n& =& b_2\\ & ⋮& \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n& =& b_m\end{array}$

do rozšířené matice, kde k matici soustavy je přidán vektor pravých stran.

$(𝑨|𝒃)=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right)$

Hodnost matice

Šablona:Podrobně Podle Frobeniovy věty nemá soustava rovnic žádné řešení, pokud hodnost $r$ rozšířené matice soustavy je větší než hodnost matice soustavy. Jsou-li naopak hodnosti obou matic stejné, má soustava alespoň jedno řešení. Řešení je jednoznačné, právě když hodnost $r=\mathrm{rank}𝑨$ je rovna počtu proměnných $n$. Je-li proměnných více, pak lze $n-r$ volným proměnným přiřadit libovolnou hodnotu a dopočítat řešení. Odlišné volby hodnot volných proměnných vedou k odlišným řešením soustavy.

Dynamické rovnice

Maticová diferenční rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar

${𝒚}_{t+1}=𝑨{𝒚}_t+𝒄,$

kde $𝑨$ je čtvercová matice řádu $n$ a $𝒚$ a $𝒄$ jsou $n$-složkové vektory. Tato soustava konverguje k rovnovážnému stavu $𝒚$, právě když absolutní hodnoty všech $n$ vlastních čísel matice $𝑨$ jsou menší než 1.

Maticová diferenciální rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar

$\frac{d𝒚}{dt}=𝑨𝒚(t)+𝒄$.

Tato soustava je stabilní, právě když všech $n$ vlastních čísel matice $𝑨$ má záporné reálné části.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie

Související články

• Soustava lineárních rovnic
• Gaussova eliminační metoda