Legendrovy polynomy

Prvních šest Legendrových polynomů

Legendrovy polynomy $P_n(x),n=0,1,2,...$ jsou polynomy reálné proměnné $x$ definované na intervalu $⟨-1,1⟩$, které popsal Adrien-Marie Legendre roku 1782. Přitom $P_n(x)$ je polynom stupně $n$. Legendrovy polynomy se používají především v matematické fyzice a lze je definovat několika různými vzájemně ekvivalentními způsoby. Jedním z nich je požadovat, aby

1. pro $n\ne m$ platilo $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)dx=0$ (podmínka vzájemné ortogonality Legendrových polynomů);
2. pro každé $n=0,1,2,...$ platilo $P_n(1)=1$ (normující podmínka).

Legendrovy polynomy jsou zvláštním případem Gegenbauerových polynomů, které zase jsou zvláštním případem Jacobiho polynomů, jednoho z klasických polynomiálních systémů matematiky. Legendrovy polynomy sudého stupně jsou sudé funkce a Legendrovy polynomy lichého stupně jsou liché funkce.

Prvních několik Legendrových polynomů je:

$P_0(x)=1$

$P_1(x)=x$

$P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)$

$P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)$

$P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$

$P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$

Vlastnosti

Rodriguesova formule a její důsledky

Pro Legendrovy polynomy platí Rodriguesova formule (1818)

$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n,$

jež umožňuje odvodit další vzorce, vyjadřující tyto polynomy explicitně, například

$\begin{array}{cc}{P}_n(x)& =\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2(x-1{)}^{n-k}(x+1{)}^k,\\ P_n(x)& =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k}){\left(\frac{x-1}{2}\right)}^k,\\ P_n(x)& =\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^{[\frac{n}{2}]}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2k}{n})x^{n-2k},\\ P_n(x)& =2^n\sum _{k=0}^n{x}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{n+k-1}{2}}{n}),\end{array}$

Generující funkce a rekurentní vztah

Legendre své polynomy původně definoval pomocí generující funkce, tedy jako koeficienty Taylorova rozkladu:

$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n(x)t^n.$

Derivováním této rovnice podle $t$ a algebraickými úpravami lze odvodit Bonnetovu rekurzivní formuli

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x).$

Legendre své polynomy objevil v souvislosti se studiem Newtonova potenciálu (gravitační potenciál hmotného bodu nebo Coulombův potenciál bodového náboje), který lze rozložit na sumu těchto polynomů:

$\frac{1}{|𝐱-{𝐱}^{\prime }|}=\frac{1}{\sqrt{r^2+{r^{\prime }}^2-2r{r}^{\prime }\cos \gamma }}=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{R^{\prime }}^{\ell }}{r^{\ell +1}}{P}_{\ell }(\cos \gamma ),$

kde r a r′ jsou délky vektorů x a x′ a γ je úhel mezi těmito vektory. Vyjádření může být užitečné například integrujeme-li potenciál přes spojitou distribuci hmoty nebo náboje.

Legendrova diferenciální rovnice a úplnost

Legendrovy polynomy jsou řešeními diferenciální rovnice, pojmenované rovněž po Legendrovi:

$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{d{P}_n(x)}{dx}\right]+n(n+1)P_n(x)=0.$

Z toho plyne, že tyto polynomy jsou vlastními vektory odpovídajícího diferenciálního operátoru:

$\frac{d}{dx}\left((1-x^2)\frac{d}{dx}\right)P(x)=-\lambda P(x),$

z čehož lze dále podle Sturmovy–Liouvilleovy teorie odvodit, že jde o úplný a ortogonální systém polynomů na definičním intervalu.

Jako úplný a ortogonální systém polynomů mají Legendrovy polynomy tyto vlastnosti:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn},$

kde ${\delta }_{mn}$ je Kroneckerovo delta, rovné jedné, pokud $m=n,$ a nule jinak.

Máme-li po částech spojitou funkci $f(x)$ na intervalu $⟨-1,1⟩$, tak suma

$f_n(x)=\sum _{\ell =0}^n{a}_{\ell }{P}_{\ell }(x)$

konverguje v průměru k $f(x)$ pro $n\to \mathrm{\infty }$, pokud vezmeme koeficienty jako

$a_{\ell }=\frac{2\ell +1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)P_{\ell }(x)dx.$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat