Integrace použitím Eulerova vzorce

Eulerův vzorec pro komplexní čísla lze v integrálním počtu použít pro vyhodnocení integrálů, které obsahují goniometrické funkce. Použitím Eulerova vzorce můžeme zapsat libovolnou trigonometrickou funkci jako komplexní exponenciální funkci obsahující $e^{ix}$ a $e^{-ix}$ a tu pak integrovat. Tato technika je často jednodušší a rychlejší než použití trigonometrických identit nebo integrace per partes, a je dostatečně silná pro integraci libovolné racionální funkce obsahující trigonometrické funkce.

Eulerův vzorec

Eulerův vzorec:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$

Substitucí $-x$ za $x$ dostaneme rovnici

$e^{-ix}=\cos x-i\sin x,$

protože funkce kosinus je sudá funkce a sinus lichá. Z těchto dvou rovnic lze vyjádřit sinus a kosinus:

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\text{a}\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.$

Příklady

První příklad

Uvažujme integrál

$\int {\cos }^{2}xdx.$

Standardní postup řešení tohoto integrálu je použít vzorec pro poloviční úhel pro zjednodušení integrandu. Místo toho můžeme použít Eulerovu identitu:

$\begin{array}{cc}\int {\cos }^{2}xdx& =\int {\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)}^{2}dx\\ & =\frac{1}{4}\int (e^{2ix}+2+e^{-2ix})dx\end{array}$

Nyní je možné se vrátit zpět k reálným číslům použitím vzorce Šablona:Math. Případně můžeme integrovat komplexní exponenciály a k trigonometrickým funkcím se již nevracet:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{4}\int (e^{2ix}+2+e^{-2ix})dx& =\frac{1}{4}(\frac{e^{2ix}}{2i}+2x-\frac{e^{-2ix}}{2i})+C\\ & =\frac{1}{4}(2x+\sin 2x)+C.\end{array}$

Druhý příklad

Uvažujme integrál

$\int {\sin }^{2}x\cos 4xdx.$

Řešení tohoto integrálu použitím trigonometrických identit je poměrně komplikované, ale při použití Eulerovy identity je docela jednoduché:

$\begin{array}{cc}\int {\sin }^{2}x\cos 4xdx& =\int {\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)}^2\left(\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}\right)dx\\ & =-\frac{1}{8}\int (e^{2ix}-2+e^{-2ix})(e^{4ix}+e^{-4ix})dx\\ & =-\frac{1}{8}\int (e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix})dx.\end{array}$

Nyní můžeme buď integrovat přímo nebo můžeme nejdřív provést substituci výrazu Šablona:Math. Obě metody dávají

$\int {\sin }^{2}x\cos 4xdx=-\frac{1}{24}\sin 6x+\frac{1}{8}\sin 4x-\frac{1}{8}\sin 2x+C.$

Použití reálných částí

Kromě přímého využití Eulerovy identity lze často vhodně využít reálné části komplexních výrazů. Pokud máme například integrál

$\int e^x\cos xdx.$

Protože Šablona:Math je reálná část Šablona:Math, víme, že

$\int e^x\cos xdx=\mathrm{Re}\int e^x{e}^{ix}dx.$

Integrál na pravé straně lze snadno vypočítat:

$\int e^x{e}^{ix}dx=\int e^{(1+i)x}dx=\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}+C.$

Odtud postupně dostaneme

$\begin{array}{cc}\int e^x\cos xdx& =\mathrm{Re}\left(\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}\right)+C\\ & =e^x\mathrm{Re}\left(\frac{e^{ix}}{1+i}\right)+C\\ & =e^x\mathrm{Re}\left(\frac{e^{ix}(1-i)}{2}\right)+C\\ & =e^x\frac{\cos x+\sin x}{2}+C.\end{array}$

Zlomky

Obecně lze tuto techniku použít pro vyhodnocení libovolného zlomku, který obsahuje trigonometrické funkce. Například při řešení integrálu

$\int \frac{1+{\cos }^{2}x}{\cos x+\cos 3x}dx$

dostaneme použitím Eulerovy identity

$\frac{1}{2}\int \frac{12+e^{2ix}+e^{-2ix}}{e^{ix}+e^{-ix}+e^{3ix}+e^{-3ix}}dx.$

Pokud nyní provedeme substituci Šablona:Math, výsledek je integrál racionální funkce:

$-\frac{i}{2}\int \frac{1+12u^2+u^4}{1+u^2+u^4+u^6}du,$

který můžeme řešit pomocí rozkladu na parciální zlomky.

Odkazy

Související články

• Trigonometrická substituce
• Weierstrassova substituce
• Eulerova substituce