Bernoulliho–Navierova hypotéza

Znázornění Bernoulliho–Navierovy hypotézy – všechny průřezy prutu zachovávají kolmost ke střednici

Bernoulliho–Navierova hypotéza (také Navierova–Bernoulliho hypotéza či Eulerova–Bernoulliho hypotéza) je v mechanice pružnosti a pevnosti předpoklad pro ohýbaný prvek. Tato hypotéza předpokládá, že průřez, který je před deformací rovinný, zůstává rovinný i po deformaci, resp. průřezy po deformaci zůstávají kolmé na deformovanou střednici prutu. Hypotéza je pojmenována po Jacobu Bernoullim, Danielu Bernoullim a Claude-Louisi Navierovi, případně po Leonhardu Eulerovi.

Platnost

Hypotéza obecně platí pro dostatečně štíhlé pruty, naopak pro prvky, u nichž je výška průřezu řádově podobně velká jako délka, je nutno použít pokročilejší teorie deformace (Mindlin, Timošenko). Platnost je dále omezena na izotropní (či ortotropní) materiály, které jsou lineárně pružné; zároveň musejí být pruty v daném průřezu homogenní (a po délce příliš neměnit svůj průřez). Vzniklá přetvoření na prutu taktéž musejí být malá.

Pokud jsou předešlé podmínky splněny, pro průhyb $w(x)$ platí:

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}w(x)}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{M(x)}{E(x)I(x)}$

Druhá derivace průběhu průhybu prutu podle délky $x$, vyjádřená jako křivost prutu, je rovna zlomku, kde $E$ je Youngův modul pružnosti, $I$ je moment setrvačnosti průřezu a $M$ je vnitřní ohybový moment.

Pro nosník, který je vyroben z homogenního materiálu po celé své délce a má navíc konstantní průřez, lze za použití Schwedlerovy věty z předchozí rovnice získat závislost průhybu $w(x)$ na spojitém zatížení $f(x)$:

$EI\frac{{\mathrm{d}}^{4}w(x)}{\mathrm{d}{x}^4}=f(x)$

Normálové napětí

Základní vzorec pro výpočet normálového napětí od působícího ohybového momentu, který platí díky BN hypotéze, je následující:

${\sigma }_x=\frac{M_y\cdot z}{I_y}=\frac{M_y}{W_y}$

Použité veličiny:

• ${\sigma }_x$ normálové napětí v průřezu
• $M_y$ – ohybový moment kolem neutrální osy
• $z$ – kolmá vzdálenost vláken k neutrální ose
• $I_y$ – moment setrvačnosti k neutrální ose y
• $W_y$ – průřezový modul k neutrální ose y. $W_y=I_y/z$

Deskové konstrukce

U deskových konstrukcí je rozšíření Bernoulliho–Navierovy hypotézy nazýváno jako Kirchhoff–Loveho teorie.

Odkazy

Literatura

• ŠMILAUER, Vít. Jednoduchý ohyb. Podklady pro předmět 132PRA. (online) Šablona:Wayback