Nerovnost aritmetického a geometrického průměru

V matematice říká nerovnost aritmetického a geometrického průměru (krátce AG nerovnost), že aritmetický průměr nezáporných čísel je vždy větší nebo roven geometrickému průměru těchto čísel. Navíc, rovnost nastává tehdy a jen tehdy, pokud jsou všechna průměrovaná čísla stejná.

Tvrzení

Formálně se nerovnost zapíše

\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}} \leq \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}

,

nebo zkráceně

\sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} x_{i}} \leq \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

případně ekvivalentně

\exp (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \ln x_{i}) \leq \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

.

Pro dvě čísla elementární, ekvivalentní vztahu

(a - b)^{2} \geq 0

,

také názorně plyne z Euklidovy věty o výšce.

Nabízí se důkaz matematickou indukcí, je však obtížný. Cauchy zde však elegantně použil techniku tzv. sestupné indukce.

Tvrzení bezprostředně plyne z Jensenovy nerovnosti a existuje i celá řada elementárnějších důkazů, např. Pólyův pomocí nerovnosti

e^{x} \geq 1 + x

.

AG nerovnost je rovněž ekvivalentní nerovnosti mezi geometrickým a harmonickým průměrem.