Iterační metoda

Ve výpočtové matematice je iterační metoda proces, který z počáteční aproximace konstruuje posloupnost přibližných řešení daného problému. Každá iterace přibližného řešení je konstruována z iterací předchozích.

Iterační metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic

Pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic existují dvě hlavní skupiny iteračních metod – stacionární iterační metody a metody Krylovových podprostorů.

Stacionární iterační metody

Základní stacionární iterační metody vycházejí ze štěpení příslušné matice soustavy na $A=M-N$, přičemž matice $M$ musí být jednoduše invertovatelná. Novou iteraci přibližného řešení spočítáme z předchozího jako $x_{k+1}=M^{-1}(N{x}_k+b).$ Přesné řešení soustavy je pak pevným bodem tohoto zobrazení.

Metody Krylovových podprostorů

Metody Krylovových podprostorů jsou projekční metody založené na hledání přibližného řešení v Krylovových podprostorech rostoucí dimenze, tj. $x_k\in x_0+\text{span}\{r_0,A{r}_0,\dots ,A^{k-1}{r}_0\}$. Jednoznačnost tohoto přibližného řešení $x_k$ dosáhneme dodatečnými podmínkami na příslušné residuum $r_k=b-A{x}_k$. Zpravidla požadujeme buď minimalitu residua v eukleidovské normě, nebo ortogonalitu residua na prostor, ve kterém hledáme aproximaci $x_k$. Požadujeme-li ortogonalitu residua na prostor, na kterém hledáme přibližné řešení, jedná se o tzv. Galerkinovu metodu.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat