Youngova nerovnost

V matematice, Youngova nerovnost, pojmenovaná podle W. H. Younga, dává do vztahu součin dvou nezáporných čísel a součet jejich mocnin:

Jsou-li $a,b\ge 0$, $p,q\in (1,\mathrm{\infty })$, $pq=p+q$, pak

$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$ .

Důkaz

Pro $a=0$ nebo $b=0$ je důkaz triviální. Jinak z konkávnosti logaritmu (Jensenova nerovnost) dostáváme, že

$\ln (\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q})\ge \frac{1}{p}\ln (a^p)+\frac{1}{q}\ln (b^q)=\ln (ab)$,

což bylo dokázat.

Související články

• Duální exponent