Brahmaguptův vzorec

Brahmaguptův vzorec

Brahmaguptův vzorec (podle indického matematika Brahmagupty) umožňuje vypočítat obsah S tětivového čtyřúhelníka, tedy takového, kterému může být opsána kružnice. Nechť ABCD je tětivový čtyřúhelník se stranami a, b, c a d, pak platí:

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$,

kde s je polovina obvodu tohoto čtyřúhelníka:

$s=\frac{a+b+c+d}{2}.$

Pokud jedna ze stran má nulovou délku, dostaneme Heronův vzorec pro obsah trojúhelníka:

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$

Brahmaguptův vzorec lze dokázat aplikací Heronova vzorce na dva trojúhelníky, na které lze čtyřúhelník rozdělit.

Zobecněním Brahmaguptova vzorce na obecné rovinné čtyřúhelníky je Bretschneiderův vzorec.

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\theta },$

kde $\theta$ je polovina součtu dvou protilehlých úhlů čtyřúhelníka. Šablona:Autoritní data