Nevlastní integrál

Nevlastní integrál funkce $1/x^3$

Riemannův integrál je definovaný na intervalu konečné délky, tj. na úsečce. Někdy je nutné integrovat i na polopřímce nebo na celé přímce. K tomu se používá nevlastní integrál, který je zaveden použitím limitního přechodu v integrálu na intervalu konečné délky. Pokud primitivní funkce v jedné z mezí nemá limitu, pak se Newtonův integrál definuje pomocí jednostranné limity.

Definice

Jestliže funkce $f$ je integrovatelná na každém konečném intervalu $⟨a,b⟩$ a existuje vlastní limita:

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{t}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ resp. $\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{t}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$,

pak tuto limitu nazýváme konvergentním nevlastním integrálem s nekonečnými mezemi a píšeme:

$\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ resp. $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$,

jestliže uvedené limity neexistují, říkáme, že nevlastní integrál diverguje.

Konvergují-li integrály $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ a $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$, říkáme, že integrál $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ konverguje, a píšeme:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

Neexistuje-li alespoň jeden z integrálů $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ a $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$, říkáme, že integrál $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ diverguje.

Poznámka. Stejným způsobem je možno rozšířit integrál i na neohraničené funkce, např.:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }\underset{a}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$.

Literatura

• Šablona:Citace monografie

Související články

• Newtonův integrál
• Riemannův integrál
• Gaussův integrál

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat