D'Alembertovo kritérium

D'Alembertovo kritérium, též nazývané podílové kritérium, je kritérium konvergence nekonečné řady, poprvé publikované Jeanem le Rond d'Alembertem.

Znění kritéria

Nechť $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ je nekonečná řada, nechť existuje limita $L:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.$

Potom:

• Pokud L < 1, řada absolutně konverguje.
• Pokud L > 1, řada nekonverguje.
• Pokud L = 1, d'Alembertovo kritérium není použitelné.

V případe, že limita $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ neexistuje, je možné použít následující zevšeobecnění kritéria:

• Pokud $\lim \text{sup}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$, řada absolutně konverguje.
• Podmínka, že pro nekonečně mnoho n platí nerovnost $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1$, není postačující pro rozhodnutí o divergenci či konvergenci řady.
• Pokud neplatí ani jedna z předcházejících možností, kritérium není použitelné.

Případy, kdy L = 1

Pokud není d'Alembertovo kritérium použitelné (neboť L = 1), je možné vyzkoušet ještě některá další související, avšak jemnější kritéria.

(Limitní) Raabeovo kritérium

S tímto kritériem přišel Joseph Ludwig Raabe. Platí, že pokud $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ je nekonečná řada s kladnými členy $a_n$ a

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(1-\frac{a_n}{a_{n+1}})=L,$

tak

• Pokud $L>1$ (včetně $L=\mathrm{\infty }$), tak řada konverguje.
• Pokud $L<1$, řada diverguje.
• Pokud $L=1$, kritérium nelze použít.

(Obyčejné) Raabeovo kritérium

Pokud $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ je nekonečná řada s kladnými členy $a_n$ a existují $r\in ℝ,r>1$ a $n_0\in \mathbb{N}$ taková, že pro $n\ge n_0$ platí $n(1-\frac{a_{n+1}}{a_n})\ge r>1$, tak řada konverguje.

Pokud naopak existuje $n_0\in \mathbb{N}$ takové, že pro $n\ge n_0$ platí $n(1-\frac{a_{n+1}}{a_n})\le 1$, potom řada diverguje.

Odkazy

Související články

• Řada (matematika)
• Kritéria konvergence řad
• Cauchyovo limitní odmocninové kritérium