Cayleyho tabulka

Cayleyho tabulka pro dihedrální grupu řádu 8

Cayleyho tabulka je tabulka výsledků binární operace nad konečnou množinou. Ukazuje názorně strukturu dané množiny, používá se tak pro určování, o jakou algebraickou strukturu se jedná. Je pojmenována po britském matematikovi Arthurovi Cayleym.

Cayleyho tabulka pro grupu a násobení je vždy latinským čtvercem.

Vlastnosti

uzavřenost

Obsahuje-li tabulka pouze prvky z $𝕄$, množina je uzavřená na dané operaci. Jedná se tedy (minimálně) o konečný grupoid.

asociativita

Vzhledem k tomu, že tabulka ukazuje výsledky pouze pro dva prvky z $𝕄$ a ne pro více, jak by bylo pro dokázání rovnosti $(ab)c=a(bc)$ potřeba, nelze z ní samotné přímo určit, zda je daná operace asociativní či ne. Cayleyho tabulka je však základem pro tzv. Lightův test asociativity, který již asociativitu určit dokáže.

neutrální prvek

Má-li nějaký prvek svůj řádek shodný s prvním řádkem tabulky a svůj sloupec shodný s prvním sloupcem tabulky, je neutrálním prvkem.

inverzní prvek

Vzájemně inverzní prvky $a$ a $b$ mají v místech průsečíků (řádku $a$ se sloupcem $b$ a sloupce $a$ s řádkem $b$) uveden neutrální prvek.

komutativita

Je-li tabulka osově souměrná podle hlavní diagonály, je daná operace komutativní.

Příklad

Příklad pro grupoid $(𝕄;\cdot )$, kde množina $𝕄=\{-1,1\}$, a $\cdot$ je operace násobení.

×	Šablona:01	−1
Šablona:01	Šablona:01	−1
−1	−1	Šablona:01

Odkazy

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat