Goniometrická rovnice

Goniometrická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v goniometrické funkci. K vyřešení goniometrické rovnice se používá jednotková kružnice.

Příklad, jak může goniometrická rovnice vypadat:

$(\sin x{)}^2+2\sin x-3=0$

Řešení goniometrické rovnice

Jednoduché rovnice

1. rovnice

1. $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
2. $x_1=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
3. $x_2=\frac{7\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

2. rovnice

1. $\text{tg}x=-\sqrt{3}$
2. $x=\frac{2\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Substituce

1. rovnice

1. $(\sin x{)}^2+2\sin x-3=0$
2. Zavedeme substituci $a=\sin x$:
   $a^2+2a-3=0$
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   $a_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm 4}{2}$
   
   $a_1=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$
   
   $a_2=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3$
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. $\sin x=1$
   2. $\sin x=-3$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. $\sin x=1$
      $x=\frac{1}{2}\pi +2k\pi$
   2. $\sin x=-3$
      $x=\varphi$

Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

2. rovnice

1. $\sin (x+\frac{\pi }{6})=1$
2. Zavedeme substituci $a=x+\frac{\pi }{6}$:
   $\sin a=1$
3. $a=\frac{\pi }{2}+2k\pi$
4. Dosadíme substituci $a=x+\frac{\pi }{6}$:
   $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$
5. $a=x+\frac{\pi }{6}$:
   $x=\frac{3\pi }{6}+2k\pi -\frac{\pi }{6}$
6. $x=\frac{2\pi }{6}+2k\pi$
7. $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$

Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Rovnice s více funkcemi současně

1. rovnice

1. $\sqrt{3}\cos x=2-\sin x$

2. umocníme rovnici na druhou:

$3{\cos }^{2}x=(2-\sin x{)}^2$

3. použijeme vzorec ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$

$3-3{\sin }^{2}x=4-4\sin x+{\sin }^{2}x$

4. $0=4{\sin }^{2}x-4\sin x+1$

5. použijeme vzorec $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$

$(2\sin x-1{)}^2=0$

6. celou rovnici odmocníme:

$2\sin x-1=0$

7. $\sin x=\frac{1}{2}$

$x_{\text{1}}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$

$x_{\text{2}}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$

8. z důvodu neekvivalentních úprav 2. a 6. je nutná zkouška

kořen $x_{\text{2}}$ rovnici nevyhovuje a jediným řešením je $x_{\text{1}}$

Takto je možné řešit rovnice se dvěma různými goniometrickými funkcemi

2. rovnice

1. $(\cot x{)}^{-1}=-(\tan x{)}^{-1}+2(\sin x{)}^{-1}$
2. Použijeme vztahy mezi funkcemi:

$\tan x=2(\sin x{)}^{-1}-\cot x$

$\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{2}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}$

1. zbavíme se zlomků:

${\sin }^{2}x=\cos x*(2-\cos x)$

1. Použijeme vzorec ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$

$1-{\cos }^{2}x=2\cos x-{\cos }^{2}x$

1. $1=2\cos x$
2. $\cos x=1/2$
3. $x_{\text{1}}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$

$x_{\text{2}}=\frac{11\pi }{6}+2k\pi$

1. Rovnice vyřešena

Vybrané (nejpoužívanější) vzorce

• Záporné hodnoty úhlů
  • $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$
  • $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$
  • $\mathrm{t}\mathrm{g}(-\alpha )=-\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$
  • $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{g}(-\alpha )=-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$
• Vzájemné vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného úhlu
  • ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$
  • $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha \cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =1$
  • $\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$
  • $\text{cotg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$
  • $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$
  • $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$
  • $\text{tg}\alpha =\frac{1}{\text{cotg}\alpha }$
• Dvojnásobný úhel
  • $\sin 2\alpha =2\cdot \sin \alpha \cos \alpha$
  • $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$
• Poloviční úhel
  • $\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$
  • $\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$
• Mocniny goniometrických funkcí
  • ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha )$
  • ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}(1+\cos 2\alpha )$
• Goniometrické funkce součtu a rozdílu úhlů
  • $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
  • $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

Kvadranty a hodnoty funkcí ve vybraných úhlech

Jednotková kružnice

Kvadrant	α	sin α	cos α	tg α	cotg α
1. kvadrant	0° – 90°	+	+	+	+
2. kvadrant	90° – 180°	+	–	–	-
3. kvadrant	180° – 270°	–	–	+	+
4. kvadrant	270° – 360°	–	+	–	-

Stupně	Radiány	Sinus	Kosinus	Tangens	Kotangens
0	$0$	$0$	$1$	$0$	$-$
30	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
45	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
60	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
90	$\frac{\pi }{2}$	$1$	$0$	$-$	$0$
120	$\frac{2\pi }{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
135	$\frac{3\pi }{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$-1$
150	$\frac{5\pi }{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{-\sqrt{3}}{2}$	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$
180	$\pi$	$0$	$-1$	$0$	$-$
210	$\frac{7\pi }{6}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
225	$\frac{5\pi }{4}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
240	$\frac{4\pi }{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
270	$\frac{3\pi }{2}$	$-1$	$0$	$-$	$0$
300	$\frac{5\pi }{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
315	$\frac{7\pi }{4}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$-1$
330	$\frac{11\pi }{6}$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$

Související články

• Goniometrie
• Goniometrické funkce
• Kvadrant (geometrie)
• Jednotková kružnice
• Substituce (matematika)
• Rovnice
• Kvadratická rovnice