Kvaternionová grupa

Graf cyklů kvaternionové grupy $Q_8$. Každá barva specifikuje sérii mocnin nějakého prvku. Například červená znázorňuje cyklus i ² = −1, i ³ = −i  a i ⁴ = 1.

Kvaternionová grupa $Q_8$ je konečná nekomutativní grupa řádu 8, spolu s dihedrální grupou (symetrie čtverce) $D_4$ jediná taková. Lze ji definovat pomocí jednotkových kvaternionů s operací kvaternionového násobení, jako množinu $Q_8=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$.

Grupa má reprezentaci

$Q_8=⟨-1,i,j,k\mid (-1{)}^2=1,i^2=j^2=k^2=ijk=-1⟩,$

kde $1$ je neutrální prvek grupy a $-1$ komutuje se všemi dalšími prvky.

Násobení prvků podmnožiny $\{\pm i,\pm j,\pm k\}$ se chová stejně jako vektorový součin vektorů ortonormální báze třírozměrného Eukleidovského prostoru:

$\begin{array}{cccc}ij& =k,& ji& =-k,\\ jk& =i,& kj& =-i,\\ ki& =j,& ik& =-j.\end{array}$

Maticová reprezentace

Kvaternionovou grupu lze reprezentovat komplexními maticemi $2\times 2$ zobrazením

$1\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$i\mapsto \left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)$

$j\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

$k\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)$

a $-1,-i,-j,-k$ jsou reprezentovány maticemi s opačnými znaménky všech koeficientů. Součiny těchto matic splňují výše uvedené grupové rovnosti. Všechny tyto matice jsou unitární, jedná se tedy o unitární reprezentaci grupy $Q_8$ na dvourozměrném komplexním prostoru.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat