Peanova křivka

Peanova křivka je křivka vyplňující dvourozměný prostor. Objevil a popsal ji italský matematik Giuseppe Peano (1858–1932) v roce 1890, inspirován prací Georga Cantora.

Konstrukce

první iterace má tvar lomené úsečky; lomené dvakrát na jednu stranu a dvakrát na stranu k ní opačnou
každá další iterace rozděluje předchozí na 3×3 segmenty, do nichž je vložen základní tvar, transformovaný (t.j. otočený nebo osově převrácený) podle daného vzoru
je možné zkonstruovat i varianty Peanovy křivky^[1]
Peanovu křivku lze zkonstruovat rekurzivně s použitím následující „gramatiky“:
- Nechť P, Q, R, S jsou první iterace Peanovy křivky v těchto směrech:
  - P: ↑ → ↓ →
  - Q: ↑ ← ↓ ←
  - R: ↓ ← ↑ ←
  - S: ↓ → ↑ →
- V následujících iterací přecházejí:
  - P → $(\begin{matrix} P & S & P \\ Q & R & Q \\ P & S & P \end{matrix})$
  - Q → $(\begin{matrix} Q & R & Q \\ P & S & P \\ Q & R & Q \end{matrix})$
  - R → $(\begin{matrix} R & Q & R \\ S & P & S \\ R & Q & R \end{matrix})$
  - S → $(\begin{matrix} S & P & S \\ R & Q & R \\ S & P & S \end{matrix})$
- Koncové body jsou poté spojeny

podobně jako např. dračí křivka nevyplňuje prostor neomezeně, ale daný první iterací
je soběpodobná, invariantní vůči měřítku
v klasické verzi je bodově symetrická podle svého středu
s každou iterací roste počet nových podsegmentů devítinásobně (3×3)

Gugenheimer, Heinrich Walter (1963), Differential Geometry, Courier Dover Publications, p. 3, Šablona:ISBN.