Řetízkové pravidlo

Řetízkové pravidlo, řetězové pravidlo (Šablona:Vjazyce2) neboli pravidlo o derivaci složené funkce je v matematické analýze vzorec pro derivací složené funkce. Vzorec často podstatně zjednodušuje výpočet derivace. Princip je ukryt v tom, že vlastní funkci nahradím jiným (zpravidla výhodnějším) výrazem, který lze snáze derivovat. Je ale známo, že řetízkové pravidlo pro derivování složené funkce může selhat, pokud vnitřní a vnější funkce nejsou spojitě diferencovatelné.

Věta

Nechť funkce g(x) má vlastní derivaci v bodě x₀; nechť funkce f(y) má vlastní derivaci v bodě y₀ = g(x₀). Potom má funkce f(g(x)) v bodě x₀ derivaci f'(g(x))g'(x).

Teorie

• $F(x)=f(g(x)).$

potom:

• $\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$.

Tedy vlastně:

• $\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}(g(x))\cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}(x)$ – v případě jedné závislé.

Příklad 1

Má se zderivovat f(x,y) využitím řetízkového pravidla. 'x' se zavede jako závislou proměnou 't', tedy 'x(t)', totéž pro 'y', tedy 'y(t,φ)'. Pokračuje zápis samotné funkce:

• $F(t,q)=f(x(t),y(t,q)).$

A derivace z toho tedy musí být:

• $\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}(t,q)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x(t),y(t,q))\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)+\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}y}(x(t),y(t,q))\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t,q)$

Příklad 2

Zderivujte:

• $F(x)=\frac{\mathrm{(}x+4{)}^3}{\mathrm{(}x-1{)}^3}.$

Celé zadání příkladu si lze představit jako:

• $F(x)=u^3$, tedy $u=\frac{\mathrm{(}x+4)}{\mathrm{(}x-1)}.$ Podle řetízkového pravidla potom výsledek bude:
• $F^{\prime }(x)=3\cdot u^{\prime }\cdot u^2$, což je:

• ${\mathrm{F}}^{\prime }(x)=3\cdot \frac{\mathrm{-}5}{\mathrm{(}x-1{)}^2}\cdot \frac{\mathrm{(}x+4{)}^2}{\mathrm{(}x-1{)}^2}$, což lze převést do základního tvaru:
• ${\mathrm{F}}^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{(}-15x^2-120x-240)}{\mathrm{(}x-1{)}^4}$.

Z druhého příkladu je vidět, že standardní postup by byl výpočetně velmi náročný. Proto je užití řetízkového pravidla v takových případech velmi výhodné. Řetízkové pravidlo se nezastaví jen u jedné proměnné, lze ho například použít například i k transformaci parciálních derivací do cylindrických či polárních souřadnic.

Odkazy

Reference

Přednášky z předmětu Matematika a fyzika pro techniky (MFT): Mgr. Jan Březina, Ph.D., TUL.

Související články

• Derivace
• Matematická analýza
• Limita
• Integrál
• Parciální derivace
• Diferenciál
• Diferenciální rovnice
• Diference
• Průběh funkce