Integrální transformace

Integrální transformace v matematice jsou ty lineární integrální operátory (lineární zobrazení $T:A\to B$ mezi dvěma prostory funkcí $A,B$, jež se dají zapsat v podobě integrálu), které mají tvar

$(Tf)(u)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }K(t,u)f(t)\mathrm{d}t$,

kde $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ a $D\subset {ℝ}^n$ jsou otevřené podmnožiny, $K:\mathrm{\Omega }\times D\to ℂ$ je měřitelná funkce označovaná v tomto kontextu jako jádro transformace, $f(t)$ je libovolná funkce z prostoru $A$ a $(Tf)(x)$ je její obraz, tedy funkce z prostoru $B$.

Příklady integrálních transformací jsou Fourierova, Laplaceova nebo vlnková transformace.

K integrální transformaci může (ale obecně nemusí) existovat inverzní transformace, převádějící obraz z prostoru $B$ zpět na vzor z prostoru $A$. Pokud existuje, dá se vyjádřit rovněž jako integrální operátor, ale s obecně odlišným (tzv. inverzním) jádrem $K^{-1}$ a oborem integrace ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$.

Přehled některých často používaných transformací:

Transformace	Symbol	$K$	$\mathrm{\Omega }$	$K^{-1}$	${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$
Spojitá Fourierova transformace	$ℱ$	$\frac{e^{-\mathrm{i}u\cdot t}}{(2\pi {)}^{n/2}}$	${ℝ}^n$	$\frac{e^{+\mathrm{i}u\cdot t}}{(2\pi {)}^{n/2}}$	${ℝ}^n$
Hartleyova transformace	$\mathscr{H}$	$\frac{\cos (ut)+\sin (ut)}{\sqrt{2\pi }}$	$ℝ$	$\frac{\cos (ut)+\sin (ut)}{\sqrt{2\pi }}$	$ℝ$
Mellinova transformace	$ℳ$	$t^{u-1}$	$(0,+\mathrm{\infty })$ $$	$\frac{t^{-u}}{2\pi \mathrm{i}}$	$c+\mathrm{i}ℝ$ $$
Dvojstranná Laplaceova transformace	$ℬ$	$e^{-ut}$	$ℝ$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi \mathrm{i}}$	$c+\mathrm{i}ℝ$
Laplaceova transformace	$ℒ$	$e^{-ut}$	$(0,+\mathrm{\infty })$ $$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi \mathrm{i}}$	$c+\mathrm{i}ℝ$
Weierstrassova transformace	$𝒲$	$\frac{e^{-(u-t{)}^2/4}}{\sqrt{4\pi }}$	$ℝ$	$\frac{e^{+(u-t{)}^2/4}}{\mathrm{i}\sqrt{4\pi }}$	$c+\mathrm{i}ℝ$
Abelova transformace	$F,f$	$\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}{\chi }_{(u,\mathrm{\infty })}(t)$	$ℝ$	$\frac{-1}{\pi \sqrt{u^2-t^2}}{\chi }_{(t,\mathrm{\infty })}(u)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}$	$ℝ$
Hilbertova transformace	$\mathscr{H}il$, $\mathscr{H}$	$\frac{1}{\pi }\frac{1}{u-t}$	$ℝ$	$\frac{1}{\pi }\frac{1}{u-t}$	$ℝ$
Hankelova transformace s jádrem obsahujícím ${\mathrm{J}}_{\nu }(ut)$, Besselovu funkci prvního druhu a řádu ν	${\mathscr{H}}_{\nu }$	$t{\mathrm{J}}_{\nu }(ut)$	$(0,+\mathrm{\infty })$ $$	$u{\mathrm{J}}_{\nu }(ut)$	$(0,+\mathrm{\infty })$ $$
Stieltjesova transformace	$𝒮$	$\frac{1}{u+t}$	$(0,+\mathrm{\infty })$ $$
Vlnková transformace (funkce $\psi$ je tzv. mateřská vlnka)	${\mathrm{W}}_{\psi }$	$\frac{1}{\sqrt{a}}{\psi }^{\ast }\left(\frac{t-b}{a}\right)$	$ℝ$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat