Substituční metoda (integrování)

Substituční metoda je metoda používaná při počítání s integrály. Při této metodě zavádíme do integrálu novou proměnnou.

Pokud lze funkci $f(x)$ vyjádřit na intervalu $(a,b)$ ve tvaru $f(x)=g(h(x))h^{\prime }(x)$, kde $h^{\prime }(x)$ je spojitá v intervalu $(a,b)$ a $g(z)$ je spojitá pro všechna $z=h(x)$, pak pro $x\in (a,b)$ platí

$\int f(x)\mathrm{d}x=\int g(h(x))h^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int g(z)\mathrm{d}z=G(z)+C=G(h(x))+C$,

kde byla použita substituce $z=h(x)$.

Jiným případem je substituce $x=\varphi (z)$, kde funkce $\varphi$ je monotónní pro všechna $z$ z intervalu $(\alpha ,\beta )$ a má na tomto intervalu spojitou derivaci ${\varphi }^{\prime }$. Potom platí

$\int f(x)\mathrm{d}x=\int f(\varphi (z)){\varphi }^{\prime }(z)\mathrm{d}z=H(z)+C$

Výsledek získáme tak, že ze vztahu $x=\varphi (z)$ vyjádříme proměnnou $z$ a dosadíme do $H(z)+C$.

Substituce ve vícerozměrných integrálech

Uvažujme uzavřenou n-rozměrnou oblast $M$ v proměnných $x_i$ pro $i=1,2,...,n$, a uzavřenou n-rozměrnou oblast $N$ v proměnných $y_i$. Mezi oblastmi $M$ a $N$ nechť existuje vzájemně jednoznačné zobrazení $x_i={\varphi }_i(y_1,y_2,...,y_n)$, přičemž existují spojité parciální derivace prvního řádu $\frac{\partial {\varphi }_i}{\partial y_j}$ pro všechna $i,j$ a jakobián $\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)}$ je nenulový, tzn. $\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)}\ne 0$. Pokud je na oblasti $M$ definována spojitá ohraničená funkce $f(x_1,x_2,...,x_n)$, pak

${\iint \cdots \int }_{M}f(x_1,x_2,...,x_n)\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2\cdots \mathrm{d}{x}_n={\iint \cdots \int }_{N}f({\varphi }_1(y_1,y_2,...,y_n),{\varphi }_2(y_1,y_2,...,y_n),...,{\varphi }_n(y_1,y_2,...,y_n))\left|\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)}\right|\mathrm{d}{y}_1\mathrm{d}{y}_2\cdots \mathrm{d}{y}_n$

V případě dvojného integrálu, kdy mezi oblastí $M$ o souřadnicích $x,y$ a oblastí $N$ o souřadnicích $u,v$ existuje vzájemně jednoznačné zobrazení $x=x(u,v),y=y(u,v)$, má jakobián tvar

$\frac{D(x,y)}{D(u.v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|$

Je-li $\frac{D(x,y)}{D(u.v)}\ne 0$, pak dostaneme pro funkci $f(x,y)$

$\underset{M}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{N}{\iint }f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{D(x,y)}{D(u.v)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$

V případě trojného integrálu, kdy mezi oblastí $M$ o souřadnicích $x,y,z$ a oblastí $N$ o souřadnicích $u,v,w$ existuje vzájemně jednoznačné zobrazení $x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)$, má jakobián tvar

$\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial x}{\partial w}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}& \frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial u}& \frac{\partial z}{\partial v}& \frac{\partial z}{\partial w}\end{array}\right|$

Je-li $\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)}\ne 0$, pak pro funkci $f(x,y,z)$ dostaneme výraz

$\underset{M}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\underset{N}{\iiint }f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\left|\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$

Související články

• Substituce

Externí odkazy

• Šablona:Otto