Integrálsinus

Graf funkce Si(x) pro Šablona:Math.

Integrálsinus je matematický pojem označující funkci definovanou jako integrál

$\mathrm{Si}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt=x-\frac{x^3}{3\cdot 3!}+\frac{x^5}{5\cdot 5!}-\frac{x^7}{7\cdot 7!}+\cdots$,

který není vyjádřitelný pomocí elementárních funkcí. Řada byla získána prostým integrováním mocninné řady pro $\frac{\sin x}{x}$ člen po členu. V bodě $x=0$ má funkce hodnotu 0.

Z tvaru mocninné řady je zřejmé, že jde o funkci lichou. Pro $x>0$ má extrémy v bodech $n\pi$, kde $n$ je přirozené číslo, přičemž lichým $n$ odpovídají maxima a sudým minima.

Pomocí reziduové věty lze vypočítat, že

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{Si}x=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi }{2}$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat