Evoluční operátor

Evoluční operátor vyjadřuje časový vývoj fyzikálního systému, používá se zejména v kvantové mechanice.

Časový vývoj je změna stavu fyzikálního (či jiného) systému způsobená postupem času. Matematicky se časový vývoj často popisuje pomocí diferenciálních rovnic, tzv. pohybových rovnic. V klasické mechanice jsou to například Hamiltonovy rovnice nebo dvě ze čtyř Maxwellových rovnic, v kvantové mechanice je to Schrödingerova rovnice závislá na čase. Časový vývoj lze vyjádřit i pomocí evolučního operátoru, tedy operátoru, který převádí stav systému z jednoho časového okamžiku do jiného.

Evoluční operátor v kvantové teorii

Evoluční operátor v kvantové teorii určuje časový vývoj systému. Operátor U určuje vývoj stavů v čase t, což lze zapsat jako

$|\psi (t)⟩=\hat{U}(t,t_0)|\psi (t_0)⟩$.

Při jeho určení se vychází z hamiltoniánu systému H a ze Schrödingerovy rovnice:

$\frac{d\hat{U}(t,t_0)}{dt}=\frac{1}{i\hslash }\hat{H}(t)\hat{U}(t,t_0)$.

Pokud hamiltonián systému nezávisí na čase, lze rovnici formálně řešit. Platí:

$U(t,t_0)=\exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}(t-t_0))$.

Pro evoluční operátor platí:

$\hat{U}(t,t_0)=\hat{U}(t,t_1)\hat{U}(t_1,t_0)$,

$\hat{U}(t,t)=1$,

$\hat{U}(t,t_0)=U^{-1}(t_0,t)$.

Dále je evoluční operátor operátorem unitárním, neboť nemění velikost normy vektoru, tedy

$\hat{U}(t,t_0){\hat{U}}^{+}(t,t_0)=1$.

Výpočet evolučního operátoru je obecně nesnadnou záležitostí, známe-li však vlastní čísla ${ϵ}_i$ a vlastní vektory ${\psi }_i$ časově nezávislého hamiltoniánu, pak je evoluční operátor dán jako:

$\hat{U}(t,t_0)=\sum _i\exp (-\frac{i}{\hslash }{ϵ}_i(t-t_0))|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$,

kde platí

$\hat{H}|{\psi }_i⟩={ϵ}_i|{\psi }_i⟩$,

$⟨{\psi }_i|{\psi }_j⟩={\delta }_{ij}$,

$\sum _i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|=1$.

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie