Pythagorova věta o energii

Vztah si lze snadno zapamatovat jako Pythagorovu větu pro trojúhelník o stranách $E$,$E_0$ a $pc$.

Ve fyzice je Pythagorova věta o energii vztah mezi energií a hybností částice, který vyplývá ze speciální teorie relativity:

$E^2=E_0^2+{\left(pc\right)}^2.$

$E$ značí celkovou energii částice, $E_0$ je její klidová energie, $p$ je velikost hybnosti a $c$ je rychlost světla ve vakuu. Klidová energie je přímo úměrná hmotnosti částice $m$ podle vztahu $E_0=m{c}^2$.

Částice s nulovou hmotností

Foton a některé další částice mají nulovou klidovou hmotnost. Dosadíme-li $m=0$ do Pythagorovy věty o energii, vztah se výrazně zjednoduší:

$E=pc.$

Částice tedy nese hybnost, která je přímo úměrná její energii. Další významný důsledek lze nahlédnout, uvážíme-li relativistickou definici hybnosti:

$𝐩=\frac{E}{c^2}𝐯,$

kde $𝐩$ a $𝐯$ jsou vektory hybnosti, resp. rychlosti částice. Dosadíme-li do této rovnice energii $E=pc$, zjistíme, že je splněna pouze tehdy, je-li velikost rychlosti rovna $c$. Jinými slovy částice s nulovou klidovou hmotností se musí vždy vůči libovolnému pozorovateli pohybovat rychlostí $c$.

Částice s nenulovou hmotností

Stejně jako v předchozí sekci dosadíme Pythagorovu větu o energii do vztahu pro velikost hybnosti:

$p=v\frac{E}{c^2}=\frac{v}{c^2}\sqrt{m^2{c}^4+p^2{c}^2}.$

Je-li rychlost $v$ menší než $c$, můžeme z tohoto vztahu vyjádřit hybnost:

$p=\gamma mv,$

kde $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ je Lorentzův faktor. Hmotná částice se tedy bude pohybovat vždy rychlostí menší než $c$, i když jí dodáme libovolně velkou hybnost.

Na druhou stranu vezmeme-li definici hybnosti a dosadíme do Pythagorovy věty o energii:

$E^2=m^2{c}^4+{\left(v\frac{E}{c^2}\right)}^2{c}^2,$

můžeme z této rovnice vyjádřit celkovou energii částice:

$E=\gamma m{c}^2.$

Opět je vidět, že částice s nenulovou hmotností se bude pohybovat vždy pomaleji než $c$, i když jí dodáme libovolnou energii.
Pokud by se částice nepohybovala, můžeme za hybnost dosadit nulu a vychází nám $E=m{c}^2$.

Kinetická energie

Kinetická energie je rozdíl mezi energií částice v pohybu a v klidu:

$E_k=E-E_0=\sqrt{E_0^2+{\left(pc\right)}^2}-E_0.$

Nemá-li částice klidovou hmotnost ($E_0=0$), je $E_k=E$. V tomto smyslu je energie částice s nulovou klidovou hmotností „čistě“ kinetická.

Pro částice s $E_0=0$ je kinetická energie v souladu s předchozími vztahy rovna:

$E_k=E-E_0=\gamma m{c}^2-m{c}^2=m{c}^2(\gamma -1).$

Taylorovým rozvojem tohoto výrazu lze ukázat, že při malých rychlostech dostatečně přesně platí vztah $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$, což souhlasí s klasickou dynamikou popsanou Newtonovými zákony pohybu. Při velkých kinetických energiích se však rychlost pouze blíží $c$ a nikdy tuto hranici nepřekročí.

Čtyřhybnost

Všechny vztahy ve speciální teorii relativity lze přirozeně zapisovat pomocí čtyřvektorů. Jedním z nejdůležitějších je čtyřhybnost, která spojuje energii a hybnost částice. Vypočteme-li skalární součin tohoto 4-vektoru se sebou samým, obdržíme právě Pythagorovu větu o energii.

Odkazy

Související články

• Hybnost
• Čtyřhybnost
• Čtyřvektor
• Relativistická hmotnost

Externí odkazy

• Speciální teorie relativity – přehled základních vztahů na Aldebaran.cz