Kleinova–Gordonova rovnice

Kleinova–Gordonova rovnice je pohybová rovnice v jedné z relativistických formulací kvantové mechaniky. Je pojmenována po Oskaru Kleinovi a Walteru Gordonovi, nezávisle na nich ji ale odvodil také Vladimir Alexandrovič Fok. Popisuje chování částic s nulovým spinem (tzv. skalární mezony). Jde o parciální diferenciální rovnici druhého řádu.

$(◻-\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2})\psi =0$

Zde $m$ je klidová hmotnost částice, $c$ je rychlost světla ve vakuu, $\hslash$ je redukovaná Planckova konstanta, $\psi$ je vlnová funkce a $◻$ je d'Alembertův operátor obsahující druhé parciální derivace podle času a kartézských souřadnic polohy.

$◻=\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$

($\mathrm{\Delta }=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }$ je Laplaceův operátor, $\mathrm{\nabla }$ je operátor nabla, tečka značí skalární součin.)

Motivace

Důvodem k náhradě Schrödingerovy rovnice jinou pohybovou rovnicí je fakt, že nezohledňuje speciální teorii relativity. Proto nemůže být správná v situacích, kdy rychlosti částic jsou řádově srovnatelné s rychlostí světla ve vakuu. Vztah pro Hamiltonián

$\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=\frac{{\widehat{𝐩}}^2}{2m}+V$

vychází z newtonovského výrazu pro kinetickou energii $T=m{𝐯}^2/2={𝐩}^2/\left(2m\right)$, který při velkých rychlostech neplatí. Navíc Schrödingerova rovnice obsahuje první parciální derivaci vlnové funkce podle času a druhé derivace podle prostorových souřadnic, takže není invariantní vůči Lorentzovým transformacím.

Odvození

Energie ve speciální relativitě je dána velikostí čtyřvektoru energie-hybnosti. Druhá mocnina jeho velikosti je

$E^2=c^2{𝐩}^2+m^2{c}^4,$

kde $m$ je klidová hmotnost částice, $𝐩$ je vektor hybnosti a $c$ je rychlost světla ve vakuu. Kleinovu–Gordonovu rovnici dostaneme dosazením kvantových operátorů pro energii a hybnost do tohoto vztahu.

$\hat{E}=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$

$\hat{p}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$

(Konstanta $i$ je imaginární jednotka.) Rovnost operátorů chápeme ve smyslu stejného působení na vlnovou funkci a dostáváme:

$-{\hslash }^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=-{\hslash }^2{c}^2\mathrm{\Delta }\psi +m^2{c}^4\psi .$

Rovnici vydělíme ${\hslash }^2{c}^2$, odečteme pravou stranu a získáme

$\mathrm{\Delta }\psi -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}-\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi =0,$

kde je na levé straně již vidět působení operátoru $◻$ na vlnovou funkci. Obdrželi jsme tedy Kleinovu–Gordonovu rovnici.

Při přechodu do jiné inerciální vztažné soustavy, čili pri Lorentzových transformacích, se d'Alembertův operátor chová jako skalár, tedy právě jako konstanta ${(mc/\hslash )}^2$, kde $m$ je klidová hmotnost. Rovnice je tedy v souladu se speciální teorií relativity a z tohoto hlediska správně popisuje chování vlnové funkce.

V jednorozměrném případě stačí vzít v úvahu pouze x-ovou část vektoru hybnosti. Příslušný operátor je $\widehat{p_x}=-i\hslash (\partial /\partial x)$ a Kleinova–Gordonova rovnice přejde na tvar

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi .$

Problémy

Kleinova–Gordonova rovnice je rovnicí druhého řádu v čase. To znamená, že pro její řešení je nutné jako počáteční podmínku zadat nejen vlnovou funkci $\psi (𝐫,t)$ v okamžiku $t=t_0$, ale zároveň i její derivaci $\partial \psi /\partial t$. V důsledku z toho také plyne, že veličina

$\rho =\frac{i\hslash }{2m{c}^2}({\psi }^{*}\frac{\partial \psi }{\partial t}-\psi \frac{\partial {\psi }^{*}}{\partial t}),$

která by měla odpovídat hustotě pravděpodobnosti, může nabývat i záporných hodnot. To vedlo Paula Diraca ke hledání lepší pohybové rovnice, které dnes říkáme Diracova rovnice. Při jejím odvození předpověděl Dirac existenci antihmoty a také zcela novou fyzikální veličinu (spin), která nemá v klasické fyzice analogii. Bez těchto úvah nelze problémy Kleinovy–Gordonovy rovnice korektně vyřešit, takže popisuje správně pouze částice s nulovým spinem.

Související články

• Schrödingerova rovnice
• Diracova rovnice
• Pohybová rovnice

Externí odkazy

• Šablona:MathWorld