Totálně omezený metrický prostor

Šablona:Upravit Nejobecnější definice totálně omezeného metrického prostoru je:

podmnožina S prostoru X je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost E existuje:

• přirozené číslo n a soubor $A_1,A_2,A_3,...A_n$ podmnožin množiny X, takový, že
  • S je podmnožinou sjednocení těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny S) a
  • každá podmnožina A_i má velikost E (nebo menší).

V matematické symbolice:

${\mathrm{\forall }}_E{\mathrm{\exists }}_{n\in \mathbb{N}}{\mathrm{\exists }}_{A_1,A_2,\dots ,A_n\subseteq X}(S\subseteq \bigcup _{i=1}^n{A}_i\text{a zároveň}{\mathrm{\forall }}_{i=1,\dots ,n}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}(A_i)\le E).$

Uvažujeme-li P=X, pak je prostor X totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li P totálně omezená množina.

Porovnání s omezenou množinou

Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.

Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor $M$ všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností $a_i,b_i$ supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel $|a_1-b_1|,|a_2-b_2|\dots$.

Uvažme množinu $A\subseteq M$ těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.

Metrický prostor $M$ není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina $A$ je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek $A$ má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro $ϵ=1$ existovala konečná $ϵ$-síť $S$, jejíž prvky můžeme označit $S(1),S(2),\dots S(m)$, kde $m$ je počet jejích prvků.

Pak by bylo možné definovat posloupnost $c_n$, definovanou takto:

• $c_i=-2$, pokud $i\le m$ a $S(i{)}_i\ge 0$
• $c_i=2$, pokud $i\le m$ a $S(i{)}_i<0$
• $c_i=0$, pokud $i>m$

Symbol $S(i{)}_i$ značí $i$-tý prvek $i$-té posloupnosti v množině $S$. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost $c_n$ se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti $S(i)$, čehož dosáhneme tak, že pro každé $i$ vhodnou volbou $c_i$ zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti $S(i)$

Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek $S(j)$ má od posloupnosti $c_n$ vzdálenost menší, než 1. Z definice $c_n$ však plyne, že číslo $S(j{)}_j$ je od čísla $c_j$ vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.

Prekompaktní množina

Šablona:Upravit část Prekompaktní množina, nebo též totálně omezená množina, je taková množina bodů metrického prostoru, která jde vždy pokrýt konečným počtem stejných koulí o libovolně malém poloměru.

Definice

Množina $M$ v metrickém prostoru se nazývá prekompaktní, jestliže ke každému $ϵ>0$ existuje v $M$ konečná množina bodů $x_1,\dots ,x_n\in M$ s vlastností $M\subset \bigcup _{i=1}^{n}U(x_i,ϵ)$, kde $U(x_i,ϵ)$ jsou $ϵ$-okolí $x_i$ (koule se středem $x_i$ a poloměrem $ϵ$).

Vlastnosti

Množina $M$ je prekompaktní právě tehdy, když z každé posloupnosti prvků $M$ lze vybrat cauchyovskou posloupnost.

Prekompaktní množina je omezená. Kompaktní množiny jsou ty, které jsou prekompaktní a úplné.

Na úplných metrických prostorech prekompaktní množiny a relativně kompaktní množiny splývají.

Odkazy

Související články

• Kompaktní množina
• Kompaktní zobrazení
• Metrický prostor