Bilineární interpolace

V matematice je bilineární interpolace rozšíření lineární interpolace pro interpolaci funkce dvou proměnných na pravidelnou prostorovou mřížku. Klíčová myšlenka je provést lineární interpolaci nejprve v jednom směru a pak i ve druhém směru.

Například bilineární interpolace na jednotkovém čtverci se z-hodnotami 0, 1, 1 a 0.5 jako signalizace. Interpolační hodnoty uprostřed jsou reprezentovány barvami.

Předpokládejme, že chceme najít hodnotu neznámé funkce f v bodě P = (x, y). Předpokladem je, že známe hodnotu f ve čtyřech bodech Q₁₁ = (x₁, y₁), Q₁₂ = (x₁, y₂), Q₂₁ = (x₂, y₁), a Q₂₂ = (x₂, y₂).

Nejprve provedeme lineární interpolaci v x-ovém směru. To znamená:

f (R_{1}) \approx \frac{x_{2} - x}{x_{2} - x_{1}} f (Q_{11}) + \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} f (Q_{21}) kde R_{1} = (x, y_{1}),

f (R_{2}) \approx \frac{x_{2} - x}{x_{2} - x_{1}} f (Q_{12}) + \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} f (Q_{22}) kde R_{2} = (x, y_{2}) .

A teď budeme pokračovat v y-ovém směru.

f (P) \approx \frac{y_{2} - y}{y_{2} - y_{1}} f (R_{1}) + \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} f (R_{2}) .

Nyní máme požadovaný odhad f(x, y).

\begin{matrix} f (x, y) & \approx \frac{f (Q_{11})}{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1})} (x_{2} - x) (y_{2} - y) \\ + \frac{f (Q_{21})}{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1})} (x - x_{1}) (y_{2} - y) \\ + \frac{f (Q_{12})}{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1})} (x_{2} - x) (y - y_{1}) \\ + \frac{f (Q_{22})}{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1})} (x - x_{1}) (y - y_{1}) . \end{matrix}

Pokud si vybereme souřadící systém se čtyřmi body, kde funkce f je zadána body (0, 0), (0, 1), (1, 0), a (1, 1), pak se vzorec zjednoduší:

f (x, y) \approx f (0, 0) (1 - x) (1 - y) + f (1, 0) x (1 - y) + f (0, 1) (1 - x) y + f (1, 1) x y .

Nebo ekvivalentně, maticovými operacemi:

f (x, y) \approx [\begin{matrix} 1 - x & x \end{matrix}] [\begin{matrix} f (0, 0) & f (0, 1) \\ f (1, 0) & f (1, 1) \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 - y \\ y \end{matrix}]

Oproti tomu, co říká název, interpolace není lineární. Místo toho je její vzorec

(a_{1} x + a_{2}) (a_{3} y + a_{4}),

takže je součinem dvou lineárních funkcí. Stejně tak lze interpolaci zapsat jako

b_{1} + b_{2} x + b_{3} y + b_{4} x y

kde

b_{1} = f (0, 0)

b_{2} = f (1, 0) - f (0, 0)

b_{3} = f (0, 1) - f (0, 0)

b_{4} = f (0, 0) - f (1, 0) - f (0, 1) + f (1, 1)

.

V obou případech počet konstant (čtyři) odpovídá počtu daných bodů, které funkce f udává. Interpolace je lineární podle přímky, která je rovnoběžná buď se směrem $x$ nebo $y$ , ekvivalentně je-li $x$ nebo $y$ nastaveno konstantně. Rovnoběžně s další přímkou je interpolace kvadratická.

Výsledek bilineární interpolace je nezávislý na pořadí interpolací. Kdybychom nejprve provedli lineární interpolaci na ose y a pak v x-ovém směru, výsledná aproximace bude stejná.

Zřejmým rozšířením bilineární interpolace je trojrozměrná interpolace – trilineární interpolace.