Nepřímý důkaz

Nepřímý důkaz se v matematice používá k dokázání matematických vět tvaru implikace $P\to T$, tj. vět tvaru „Jestliže platí předpoklad P, pak platí také tvrzení T“. Spočívá v tom, že se z negace výroku $T$ odvodí negace výroku $P$, tj. dokáže se tvrzení $\mathrm{\neg }T\to \mathrm{\neg }P$.

Zdůvodnění správnosti

Dokázáním implikace $\mathrm{\neg }T\to \mathrm{\neg }P$ je již skutečně dokázáno i $P\to T$. Pokud totiž $P$ platí, musí platit i $T$, jinak by totiž platilo $\mathrm{\neg }T$ a podle dokázané implikace $\mathrm{\neg }P$, tedy by neplatilo $P$.

Souvislost s důkazem sporem

Nepřímý důkaz je úzce spjatý s důkazem sporem. Každý nepřímý důkaz lze převést na důkaz sporem. Dokazujeme-li totiž implikaci $P\to T$ nepřímo, tj. dokazujeme-li $\mathrm{\neg }T\to \mathrm{\neg }P$, lze před celý důkaz tohoto tvrzení přidat větu „Předpokládejme pro spor, že platí $P$ neplatí $T$.“ a po dokázání $\mathrm{\neg }P$ zakončit důkaz konstatováním „…, což je spor s předpokladem.“ Tím je nepřímý důkaz převeden na důkaz sporem.

Příklady

Nepřímý důkaz tvrzení „Pro každá dvě celá čísla $a$, $b$, pokud $a\cdot b=0$, pak $a=0$ nebo $b=0$“ lze provést následovně:

• Nechť platí negace závěru, tj. $a$ i $b$ jsou nenulové.
• Pak $|a|$ i $|b|$ jsou $>0$.
• Tedy $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|>0$.
• A proto $a\cdot b\ne 0$.

Související články

• Matematický důkaz
• Přímý důkaz
• Důkaz sporem
• Důkaz matematickou indukcí
• Nepřímý důkaz v kriminalistice a soudním dokazování