Prostorový úhel

Vymezení prostorového úhlu na kulové ploše rotační kuželovou plochou

Prostorový úhel je část prostoru vymezená rotační kuželovou plochou. Každá taková plocha dělí prostor na právě dvě části – prostorové úhly. Prostorový úhel se určuje tak, že se uvažuje kulová plocha o středu ve vrcholu V a o libovolném poloměru r, jejíž průnik s prostorovým úhlem je vrchlík na kulové ploše o obsahu A. Velikost prostorového úhlu pak určuje poměr mezi A a r², přičemž nezávisí na uvažované kulové ploše. Alternativní definicí prostorového úhlu je sjednocení všech polopřímek $\overrightarrow{VX}$ se společným počátkem V, kde bod X leží na kulovém vrchlíku se středem v bodě V.

Specifickým případem prostorového úhlu je poloprostor, tj. část prostoru rozděleného rovinou.

Prostorový úhel jako fyzikální veličina

Prostorový úhel jako veličina se používá k vymezení určité části možných směrů z daného prostorového bodu, a to zejména ve veličinách charakterizující šíření elektromagnetického vlnění (včetně světla) či korpuskulárního záření (toky a proudy částic).

Definice

Prostorový úhel jako veličina charakterizuje velikost části prostoru vyťaté obecnou kuželovou plochou (bez ohledu na její konkrétní tvar či směřování) pomocí obsahu $A$ plochy jí vymezené na kulové ploše (sféře) se středem ve vrcholu kuželové plochy a s poloměrem $r$, a to nezávisle na velikosti (poloměru) sféry.

Definiční vztah:

$\mathrm{\Omega }=\frac{A}{r^2}$

Prostorový úhel je veličinou skalární.

Značení a jednotky

• Symbol veličiny: $\mathrm{\Omega }$
• Jednotka SI: steradián, značka jednotky: sr

Steradián je koherentní fyzikální jednotka prostorového úhlu. Jeden steradián je prostorový úhel, který vymezuje ze středu kulové plochy na jejím povrchu plochu o obsahu rovném kvadrátu jejího poloměru. (Definice je obecná, aniž by specifikovala tvar vymezené plochy.) Podobně jako radián, je steradián v současné podobě SI považován za odvozenou bezrozměrnou jednotku, přičemž dříve (do r. 1995) byl řazen do tzv. doplňkových jednotek s vlastním rozměrem.

• V astronomii se kromě steradiánu používá také starší jednotka čtverečný stupeň.

Výpočet

Prostorový úhel objektu pozorovaného z určitého bodu je číselně roven ploše, kterou zabírá obraz tohoto objektu v bodové projekci (se středem v daném bodě) na jednotkovou sféru, která má střed v daném bodě.

Plný prostorový úhel má hodnotu $4\pi$, přímý prostorový úhel (poloprostor) pak poloviční, tedy $2\pi$.

Element prostorového úhlu

Pozorujeme-li z určitého bodu o polohovém vektoru $𝒓$ element plochy $\mathrm{d}S$, jehož polohový vektor je ${𝒓}^{\prime }$, pak pro element prostorového úhlu platí

$\mathrm{d}\mathrm{\Omega }=\frac{𝑹\cdot \mathrm{d}𝑺}{R^3}$,

kde $𝑹=𝒓-{𝒓}^{\prime }$, $R$ je velikost tohoto vektoru a $\mathrm{d}𝑺=𝒏\mathrm{d}S$, přičemž $𝒏$ je normála plochy v bodě ${𝒓}^{\prime }$.

Související články

• Úhel
• Steradián

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat