Rozdělení chí kvadrát

Graf hustoty pravděpodobnosti rozdělení chí kvadrát pro různý počet stupňů volnosti

Rozdělení chí kvadrát čili rozdělení ${\chi }^2$ (jinak také Pearsonovo rozdělení) s $n$ stupni volnosti je spojité rozdělení pravděpodobnosti, které je často využíváno ve statistice. Velký význam má pro určování, zda množina dat vyhovuje dané distribuční funkci.

Rozdělení ${\chi }^2$ o $n$ stupních volnosti, které se označuje ${\chi }^2(n)$, je rozdělení náhodné veličiny $X=\sum _{i=1}^n{U}_i^2$, kde $U_i$ je $n$ vzájemně nezávislých náhodných veličin s normovaným normálním rozdělením $\mathrm{N}(0,1)$.

Rozdělení ${\chi }^2(n)$ má hustotu pravděpodobnosti

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ pro }x\le 0\\ \frac{1}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)2^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}{x}^{\frac{n}{2}-1}& \text{ pro }x>0\end{array}$

Charakteristiky rozdělení

Střední hodnota rozdělení ${\chi }^2(n)$ je

$\mathrm{E}(X)=n$

Rozdělení ${\chi }^2(n)$ má rozptyl

${\sigma }^2(X)=2n$

Momentová vytvořující funkce pro rozdělení ${\chi }^2(n)$ má tvar

$m_X(t)={(1-2t)}^{-\frac{n}{2}}$

Tabulka některých kvantilů pro některé počty stupňů volnosti:

stupňů volnosti	q0,95	q0,99
1	3,84	6,63
2	5,99	9,21
3	7,81	11,34
4	9,49	13,28
5	11,07	15,09
10	18,31	23,21
15	25,00	30,58
20	31,41	37,57
30	43,77	50,89
40	55,76	63,69
50	67,50	76,15
N velké (>100)	$N+1,65\sqrt{2N}$	$N+2,33\sqrt{2N}$

Poznámka: 95% kvantil odpovídá kritické hodnotě pro 5% hladinu významnosti, 99% kvantil kritické hodnotě pro 1% hladinu významnosti.

Vlastnosti

Rozdělení ${\chi }^2(n)$ se s rostoucím $n$ blíží k normálnímu rozdělení se střední hodnotou $n$ a rozptylem $2n$.

Související články

• Chí-kvadrát test
• Rozdělení pravděpodobnosti
• Normální rozdělení

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat