Extenzionální relace

Extenzionální relace je matematický pojem z oblasti teorie množin.

Definice

Nechť R je binární relace na třídě A. Dále označme $R^{-1}[y]=\{x;xRy\}$. Relace R se nazve extenzionální, splňuje-li: $(\mathrm{\forall }y,z\in A)(R^{-1}[y]=R^{-1}[z]\Rightarrow y=z)$.

Příklady

• Relace $\in$ na univerzální třídě $𝕍$ je extenzionální díky axiomu extenzionality.
• Relace $<$ i $\le$ na množině přirozených, celých, racionálních, reálných či ordinálních čísel jsou všechny extenzionální. Obecněji každé lineární uspořádání je extenzionální relace.
• Relace „x dělí y“ je extenzionální na množině přirozených čísel, přestože zde není lineárním uspořádáním. Na množině celých čísel tatáž relace extenzionální není - každá dvě čísla $m,-m$ mají stejné dělitele, ale nejsou si rovna.

Mostowského věta o kolapsu

Mostowského věta o kolapsu říká, že extenzionalita je jednou ze (tří) základních vlastností relace $\in$, které tuto relaci do jisté míry jednoznačně charakterizují. Zní takto:

Nechť R je relace úzká, extenzionální a fundovaná na třídě A. Pak existuje právě jedna tranzitivní třída T taková, že struktury $⟨A;R⟩$ a $⟨T;\in ⟩$ jsou izomorfní (tj. existuje $\varphi :A\to T$ bijekce, že $xRy\iff \varphi (x)\in \varphi (y)$).

Související články

• Úzká relace
• Fundovaná relace